RÉSULTANT ANISOTROPE COMPLÉMENTS ET APPLICATIONS

Jean-Pierre JOUANOLOU (U. L. P. Strasbourg)

A Dominique Foata, pour son soixantième anniversaire, en témoignage de fidèle amitié

Submitted: December 1, 1994; Accepted: February 4, 1995

Le but du présent article est d’étendre au cas anisotrope introduit dans [J3] un certain nombre d’énoncés et de formules de [J5] et [J6] qui ne sont établis dans (loc.cit) que dans la situation classique usuelle. Cela conduit d’une part à surmonter quelques difficultés techniques, d’autre part à clarifier un certain nombre de résultats antérieurs. Enfin, on montre sur quelques exemples simples l’utilité des énoncés obtenus.

Le plan de l’article est le suivant :

1- Complexe de Koszul anisotrope.

2- Inertie de degré 0 et résultant anisotrope.

3- Structure de la transgression et inertie.

4- Autour des formules de Macaulay.

5- Formules à la Sylvester et exemples d’applications.

Parmi les résultats obtenus, signalons les deux suivants :

a) Une expression explicite dans le cas intersection complète de la dualité de Grothendieck, fournissant en principe dans ce cas toutes les formes d’inertie.

b) Des formules à la Sylvester, à coefficients entiers, pour certains résultants anisotropes, avec des applications géométriques : équations implicites des surfaces paramétrées (précisant Brill [Br]), calcul de résultants réduits...

1. Complexe de Koszul anisotrope

1.1 On suppose donnés dans cette partie un entier n ≥ 1 et une suite (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) indexée par [n] d’entiers ≥ 1. On pose

m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}).

Etant donné un anneau commutatif ℓ, on pondère la ℓ-algèbre de polynômes

C := ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]

en affectant les indéterminées X_{i}(1 ≤ i ≤ n) du poids (“degré anisotrope”)

deg_{a}(X_{i}) = m_{i},

et en posant, bien sûr, deg_{a}(x) = 0 pour tout x ∈ ℓ. On pose en outre

𝔐 := (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}) ⊂ ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}].

Supposons de plus donnée une deuxième suite (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}) indexée par [n] d’entiers ≥ 1, et, pour tout i ∈ [n], un polynôme isobare de poids d_{i}

f_{i} = ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} u_{iα}X^{α} ∈ ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]_{d_{i}}

On note alors

\begin{aligned}d : & = pgcd(d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}) \\ δ : & = ∑_{i=1}^{n}(d_{i} − m_{i}) \\ B : & = ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) = C/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}). \end{aligned}

L’exemple générique d’une telle situation est celui où, étant donné un anneau commutatif k, et une famille d’indéterminées U_{i,α}(1 ≤ i ≤ n, deg_{a}(X^{α}) = d_{i}), on prend pour anneau ℓ la k-algèbre de polynômes

A := k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}]

et, pour tout i ∈ [n],

f_{i} := ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} U_{iα}X^{α} ∈ A[X_{1}, ⋯, X_{n}].

Lorsque ℓ est une k-algèbre, toute situation du type indiqué se déduit de la situation générique correspondante sur k par spécialisation k-linéaire U_{iα} ↦ u_{iα} (i ∈ [n], deg_{a}(X^{α})| = d_{i}).

Avec la pondération définie sur la ℓ-algèbre C, le complexe de Koszul

K^{•} := Kosz(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}; C)

est un complexe de C-modules Z-gradués

\begin{matrix}0 → C(−d_{1} − d_{2} · · · · · · − d_{n}) → ⋯ & → ⨁_{i=1}^{n} C(−d_{i}) ⟶^{[f_{1},···,f_{n}]} & C → 0 . \\ ∥ & ∥ & ∥ \\ K^{−n} & K^{−1} & K^{0} \end{matrix}

Plus précisément, pour tout 0 ≤ i ≤ n, on a

K^{−i} = Λ^{i}(K^{−1}) = ⨁_{J⊂[n]_{|J|=i}} C(− ∑_{j∈J} d_{j}) .

Dans la situation générique sur un anneau commutatif k, on peut munir A = k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}] d’une structure de N^{n}-algèbre graduée, en posant

A_{(0,···,0)} = k

et, pour tout (i, α) avec i ∈ [n] et deg_{a}(X^{α}) = d_{i},

deg(U_{iα}) = (0, ⋯, 0, 1 ; ↑ ; i, 0, ⋯, 0) := ε_{i} ∈ N^{n}.

La k-algèbre A[X_{1}, ⋯, X_{n}] est ainsi (N^{n}×N)-graduée. Dans ces conditions, le complexe de Koszul générique est un complexe de C-modules (Z^{n} ×Z)-gradués. Plus précisément, notant {x; y} le décalage par (x, y) ∈ Z^{n} × Z, on a dans ce cas

K^{−1} = ⨁_{i=1}^{n} C{−ε_{i} ; −d_{i}}

d’où pour tout 0 ≤ i ≤ n,

K^{−i} = Λ^{i}(K^{−1})

= ⨁_{JC[n]_{|J|=i}} C{− ∑_{j∈J} ε_{j} ; − ∑_{j∈J} d_{j}} .

1.2. Dans la situation préliminaire de (1.1), rappelons que

H𝔐^{i}(C) = 0 si i ≠ n

et

H𝔐^{n}(C) = (X_{1} ⋯ X_{n})^{−1}ℓ[X_{1}^{−1}, ⋯, X_{n}^{−1}],

avec deg_{a}(X_{i}^{−1}) = −m_{i}(i ∈ [n]), de sorte que, en particulier

H𝔐^{n}(C)_{ν} = 0 si ν > −(∑_{i=1}^{n} m_{n})

et

H𝔐^{n}(C)_{− ∑_{i=1}^{n} m_{i}} = ℓ(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1} ≃ ℓ .

De plus, il est immédiat que, pour tout ν ∈ Z, l’accouplement canonique entre ℓ-modules libres de type fini

(1.2.1)  \begin{matrix}C_{ν} ⊗_{ℓ} H𝔐^{n}(C)_{−(∑_{i=1}^{n} m_{i})−ν} & ⟶ H𝔐^{n}(C)_{− ∑_{i=1}^{n} m_{i}} ≃ ℓ \\ c ⊗ x & ⟼ cx \end{matrix}

est une dualité parfaite.

1.3. Le complexe de Koszul K^{•} = Kosz(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) donne lieu à deux suites spectrales de même aboutissement dans la catégorie des C-modules Z-gradués

(I)  ′E_{1}^{pq} = H𝔐^{q}(K^{p}) ⟹ H𝔐^{p+q}(K^{•})

(II)  ′′E_{2}^{pq} = H𝔐^{p}(H^{q}(K^{•})) ⟹ H𝔐^{p+q}(K^{•}) .

Compte tenu de ce que H𝔐^{i}(C) = 0 si i ≠ n et de ce que les C-modules K^{p} sont (gradués)-libres, la suite spectrale (I) permet, pour tout p ∈ Z, d’identifier H𝔐^{p}(K^{•}) et

le pème-module de cohomologie du complexe L^{•} défini comme suit :

⋯ → 0 → H𝔐^{n}(K^{−n}) ⟶^{H𝔐^{n}(d)} H𝔐^{n}(K^{−n+1}) → ⋯ → H𝔐^{n}(C) → 0 → ⋯
∥  ∥  ∥
L^{0}  L^{1}  L^{n}

En particulier

\begin{aligned}H𝔐^{0}(K^{•}) & = H^{0}(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}; H𝔐^{n}(C)(− ∑_{i=1}^{n} d_{i})) \\ ( & = H^{0}(L^{•})) , \end{aligned}

et la suite spectrale (II) donne lieu à un morphisme de transgression (voir [J6])

τ : H^{0}(f_{1}, ⋯, f_{n}; H𝔐^{n}(C)(− ∑_{i=1}^{n} d_{i})) → H𝔐^{0}(B) .

Pour tout ν ∈ Z, notons τ_{ν} la composante homogène de degré ν de τ. D’après la dualité parfaite (1.2.1), la source de τ_{ν} s’identifie à

Hom_{ℓ}(B_{δ−ν}, H𝔐^{n}(C)_{− ∑_{i=1}^{n} m_{i}})

≃ B_{δ−ν}^{∨} ⊗_{ℓ} [ℓ(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1}] (∨ : dual sur ℓ) ≃ B_{δ−ν}^{∨} (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} ↦ 1) .

Cela permet d’identifier τ_{ν} à un morphisme de ℓ-modules

τ̂_{ν} : B̌_{δ−ν} ⟶ H𝔐^{0}(B)_{ν} .

Munissant ⨁_{ν} B̌_{δ−ν} de sa structure de B-module évidente, l’application ℓ-linéaire

τ̂ := ⨁_{ν} τ̂_{ν} : ⨁_{ν} B̌_{δ−ν} → H𝔐^{0}(B)

est un morphisme de B-modules Z-gradués.

Dans la situation générique sur un anneau k, les suites spectrales I et II peuvent être définies dans la catégorie des C-modules (Z^{n} × Z)-gradués. Avec les notations de (1.1) dans ce cas, on a

τ : H^{0}(f_{1}, ⋯, f_{n}; H𝔐^{n}(C){−1, ⋯, −1, ⋯, −1; − ∑_{i=1}^{n} d_{i}}) → H𝔐^{0}(B) .

On en déduit que, pour tout ν ∈ Z, l’application A-linéaire τ̂_{ν} est un morphisme de A-modules Z^{n}-gradués (pour la graduation deg(U_{iα}) = ε_{i} ∈ Z^{n})

τ̂_{ν} : B̌_{δ−ν}{−1, −1, ⋯, −1} → H𝔐^{0}(B)_{ν} .

1.4. Dans la situation (1.1), soit

A := H𝔐^{0}(B)_{0} ⊂ ℓ

l’idéal des formes d’inertie (par rapport à 𝔐) de l’idéal (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) de C. Utilisant le “lemme d’inertie” ([J6] 3.12.1.2), on démontre comme en ([J6]3.12.2) que pour tout ν ∈ Z,

(1.4.1)  A^{n}Ker(τ_{ν}) = A^{n}Coker (τ_{ν}) = 0 ,

ou, si l’on préfère,

(1.4.2)  A^{n}Ker(τ̂_{ν}) = A^{n}Coker (τ̂_{ν}) = 0 .

Lorsque ν < 0 (resp.ν > δ), le but (resp. la source) de τ_{ν} est égal à 0, donc

(1.4.3)  \{ \begin{matrix}A^{n}H𝔐^{0}(B)_{ν} = 0  lorsque ν > δ , \\ A^{n}B_{ν}^{∨} = 0  lorsque ν > δ , \\ A^{n}H^{0}(f_{1}, ⋯, f_{n}; H𝔐^{n}(C))_{ν} = 0  lorsque ν < − ∑_{i=1}^{n} d_{i} . \end{matrix}

Pour ν = 0, on déduit de (1.4.1) que A^{n+1} ⊂ Im(τ_{0}) ⊂ A, ce qui montre en particulier que les idéaux A et Im(τ_{0}) = Im(τ̂_{0}) de ℓ ont la même racine.

1.5. L’énoncé suivant est une variante d’énoncés analogues de ([J6] 3.12.4), où l’on supposait m_{1} = m_{2} = ⋯ = m_{n} = 1, et se prouve de la même manière.

Proposition 1.5.1.— Sous les hypothèses de (1.1), les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) La suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière dans C.

(ii) La suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est localement régulière dans C en dehors de V (𝔐).

(iii) La suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est localement complètement sécante.

Dans ce cas, le complexe K^{•} = Kosz(f_{1}, ⋯, f_{n}; C) est acyclique, et la comparaison des suites spectrales (I) et (II) fournit, pour tout i ≥ 0, un isomorphisme de C-modules Z-gradués

H^{i}(f_{1}, ⋯, f_{n}; H𝔐^{n}(C)(− ∑_{i=1}^{n} d_{i})) ⟶^{∼} H𝔐^{i}(B) .

En particulier, pour tout ν ≥ 0, le morphisme de ℓ-modules

τ̂_{ν} : B̌_{δ−ν} → H𝔐^{0}(B)_{ν}

est un isomorphisme. En particulier,

τ̂_{δ} : ℓ ⟶^{∼} H𝔐^{0}(B)_{δ} .

Considérons alors l’accouplement ℓ-bilinéaire composé

⟨, ⟩ : B_{δ−ν} ⊗_{ℓ} H𝔐^{0}(B)_{ν} ⟶^{mult} H𝔐^{0}(B)_{δ}⟶_{∼}^{(τ̂_{δ})^{−1}}ℓ .

Il lui correspond une application ℓ-linéaire

H𝔐^{0}(B)_{ν} → B_{δ−ν}^{∨}

x ↦ (b ↦ ⟨b, x⟩)

et la B-linéarité de τ montre que cette application ℓ-linéaire coïncide avec (τ̂_{ν})^{−1}, et est donc un isomorphisme de ℓ-modules (“théorème de Macaulay”).

Corollaire 1.5.2.— Supposons la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) régulière dans C.

(i) Si l’anneau ℓ est noethérien et factoriel, alors l’idéal A = H𝔐^{0}(B)_{0} de ℓ est principal.

(ii) Si l’anneau ℓ est noethérien et localement factoriel (par exemple régulier), alors l’idéal A = H𝔐^{0}(B)_{0} de ℓ est inversible.

Preuve : (i) ⟹ (ii) par localisation sur ℓ. Montrons (i). Par (1.5.1), on a : τ̂_{0} : B̌_{δ} ⟶^{∼} A. Comme B_{δ} est un ℓ-module de présentation finie, le ℓ-module B̌_{δ} est réflexif. Par suite l’idéal A de ℓ est divisoriel (Bourbaki, Alg. Comm. ch.7 Exemple 2 p.51), donc principal puisque ℓ est factoriel.

2. Inertie de degré 0 et résultant anisotrope.

2.1. Sous les hypothèses de (1.1), rappelons que nous avons défini (1.4) un morphisme de ℓ-modules

τ̂_{0} : B̌_{δ} ⟶ A := H𝔐^{0}(B)_{0}

tel que

\{ \begin{matrix}A^{n+1} ⊂ Im (τ̂_{0}) ⊂ A \\ A^{n}Ker (τ̂_{0}) = 0 . \end{matrix}

Les observations suivantes sont alors immédiates (cf. la preuve de (1.5.2) pour une partie d’entre elles).

a) Si A ne divise pas zéro dans ℓ (par exemple si ℓ est intègre et A ≠ 0), le morphisme τ̂_{0} est injectif.

b) Si A ≠ 0 et l’anneau ℓ est factoriel (resp. localement factoriel et noethérien), l’idéal Im(τ̂_{0}) ≃ B_{δ}^{∨} de ℓ est principal (resp. inversible), de même racine que A. En particulier, lorsque de plus Proj (B) est réduit, l’idéal A, qui s’identifie alors à la racine de Im(τ̂_{0}), est lui-même principal (resp. inversible).

2.2 Plaçons-nous dans la situation générique sur un anneau commutatif k, le rôle de ℓ étant donc joué par

kA := k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}] .

Pour préciser l’anneau de base, posons ici

kA = H𝔐^{0}(B)_{0} .

L’exemple n = 2, m_{1} = 2, m_{2} = 3, d_{1} = d_{2} = 5, avec k arbitraire, montre qu’en général il n’est pas vrai que A ≠ 0. Avec des changements de notation évidents, on a en effet alors A = k[U, V] (U, V des indéterminées), f_{1} = UX_{1}X_{2}, f_{2} = V X_{1}X_{2} et, pour a ∈_{k} A, N ∈ N, la relation aX_{1}^{N} ∈ (f_{1}, f_{2}) implique : a = 0.

Supposons k factoriel noethérien. Lorsque _{k}A ≠ 0 et Proj (B) est réduit, l’idéal _{k}A est principal (2.1 b)) et on appelle résultant anisotrope sur k (pour les suites \underline{m}, \underline{d}) l’un quelconque de ses générateurs (qui n’est donc défini qu’à multiplication par un élément inversible de k près), que l’on note alors

aRes_{k}(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) ∈ _{k}A .

Lorsque Proj(B) n’est pas réduit, on peut aussi donner droit de cité, lorsque _{k}A ≠ 0, à un générateur de Im(τ̂_{0}).

Cette définition est compatible avec celles de [J3], où nous avons défini une notion de résultant anisotrope dans essentiellement deux cas, que nous allons rappeler.

A. Le cas “standard”

C’est celui où m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise tous les entiers d_{i}(i ∈ [n]). Alors (loc. cit. 6.3.6), la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière dans _{k}C, et Proj (_{k}B) est intègre lorsque k l’est. Conformément à (1.5.2 (i)), l’idéal _{Z}A est principal. Nous avons vu (loc. cit. 6.3.5(A)) qu’il admet un générateur unique, noté aRes_{Z}(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) tel que

aRes_{Z}(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, X_{2}^{d_{2}/m_{2}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) = 1

par spécialisation. De plus, pour tout anneau commutatif k, l’image, notée aRes_{k}(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}), de^{a}Res_{Z}(f_{1}, ⋯, f_{n}) par le morphisme d’anneaux canonique U_{iα} ↦ U_{iα} : _{Z}A → _{k}A ne divise pas zéro dans _{k}A et engendre _{k}A.

B. Le cas “semi-standard”

Nous avons considéré dans ([J3] 6.3.10.1 et 6.3.10.2) les conditions suivantes.

(H_{1}) a) Pour tout i ∈ [n], l’entier m_{i} divise tous les entiers d_{j} à l’exception éventuellement de l’un d’eux.

b) Pour tout i ∈ [n], on a : d_{i} ∈ Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n} ⊂ N.
(H_{2}) Pour tout i ∈ [n] et tout j ∈ [n], on a

d_{j} ∈ ∑_{ℓ≠i} Nm_{ℓ} ⊂ N .

(H_{3}) Pour tout i ∈ [n], il existe un entier j ∈ [n] tel que m_{j} divise d_{i}.

En outre, nous avons vérifié les assertions suivantes.

(i) Lorsque (H_{1}) est vérifiée, la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière dans _{k}C.

(ii) Lorsque (H_{1}a)) et (H_{2}) sont vérifiées et k est intègre, le schéma Proj (_{k}B) est intègre.

(iii) Lorsque (H_{1}a)) et (H_{3}) sont vérifiées, on a

kA ≠ 0 .

Enfin, nous avons montré directement ([J3] 6.3.10.5) que lorsque k est factoriel (non nécessairement nœthérien) et (H_{1}a)), (H_{2}) et (H_{3}) sont vérifiées et n ≥ 2 (noter que H_{2} implique H_{1}b)), l’idéal _{k}A est principal, et appelé résultant anisotrope sur k (pour \underline{m}, \underline{d}) l’un quelconque de ses générateurs.

En fait (1.5.1), il résulte de (i) que la condition (H_{1}) suffit à assurer que τ̂_{0} : _{k}B_{δ}^{∨} → _{k}A est un isomorphisme de _{k}A-modules. Par suite, d’après (iii), la conjonction de (H_{1}) et (H_{3}) suffit, lorsque k est noethérien et factoriel, pour assurer que _{k}A est principal, et par suite définir un résultant anisotrope. Lorsque (H_{2}) est vérifiée, il est irréductible ((ii)) et coïncide avec ceux définis en [J3] d’une part, et en début de paragraphe (Proj (_{k}B) est réduit) d’autre part.

2.3 Revenons à la situation de départ (1.1), dans le cas standard :

m = ppcm(m_{1}, ⋯, m_{n}) divise tous les d_{j}(j ∈ [n]).

Alors le morphisme de ℓ-algèbres

φ : ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}] → ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]
X_{i} ↦ X_{i}^{m_{i}}

munit le but d’une structure de module libre de dimension m_{1}m_{2} ⋯ m_{n} sur la source, donc en particulier est plat.

Posant pour simplifier, pour tout g ∈ ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}],
g^{#} := φ(g) ∈ ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}] ,

nous avons vu ([J3] 6.3.5 (B)) que

(2.3.1)  \{ \begin{matrix}Res (f_{1}^{#}, ⋯, f_{n}^{#}) = ^{a}Res (f_{1}, ⋯, f_{n})^{χ} dans ℓ , \\ avec χ := \frac{m_{1}m_{2} ⋯ m_{n}}{pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n})} . \end{matrix}

Proposition 2.3.2.— (Cas standard). Lorsque f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} est une suite régulière de C = ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}], le résultant anisotrope ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) et l’idéal A = H𝔐^{0}(B)_{0} ne divisent pas zéro dans ℓ.

Preuve : Comme A et (^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})) ont même racine, il suffit de vérifier l’assertion pour ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}). Comme φ est plat, la suite (f_{1}^{#}, f_{2}^{#}, ⋯, f_{n}^{#}) de polynômes homogènes au sens usuel (deg(X_{i}) = 1) est régulière. D’après ([J6] 3.12.4.2), il en résulte que Res (f_{1}^{#}, f_{2}^{#}, ⋯, f_{n}^{#}) ne divise pas zéro dans ℓ, d’où le résultat par comparaison avec (2.3.1).

Exemple 2.3.3 Soit k ≠ 0 un anneau commutatif, V_{ij}(1 ≤ i, j ≤ n) des indéterminées et ℓ = k[V_{ij}|1 ≤ i, j ≤ n]. Supposons que, pour tout i ∈ [n], le polynôme f_{i} soit de la forme

\{ \begin{matrix}f_{i} = V_{i1}X_{1}^{d_{i}/m_{1}} + V_{i2}X_{2}^{d_{i}/m_{2}} + ⋯ + V_{in}X_{n}^{d_{i}/m_{n}} + g_{i} \\ avec g_{i} ∈ k[X_{1}, ⋯, X_{n}] . \end{matrix}

Alors (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est une suite régulière de C = ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]. Pour le voir, il suffit (1.5.1) de montrer que c’est localement vrai en dehors de V (𝔐). Or, posant pour tout i ≥ 1

R_{i−1} := k[V_{sj}|s < i][X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, ⋯, f_{i−1}) ,

le R_{i−1}-contenu de f_{i} dans R_{i−1}[V_{i1}, V_{i2}, ⋯, V_{in}] est l’idéal (X_{1}^{d_{i}/m_{1}}, X_{2}^{d_{i}/m_{2}}, ⋯, X_{n}^{d_{i}/m_{n}}, g_{i}) de R_{i−1} qui contient une puissance de (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n})R_{i−1}. Par suite (lemme de Dedekind-Mertens), le noyau de la multiplication par f_{i} dans R_{i−1} [V_{i1}, V_{i2}, ⋯, V_{in}] a son support dans V (𝔐). Par platitude du morphisme d’anneaux canonique R_{i−1}[V_{i1}, V_{i2}, ⋯, V_{in}] → ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{i−1}), il en résulte que la multiplication par f_{i}

×f_{i} : ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, ⋯, f_{i−1}) → ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, ⋯, f_{i−1})

est injective en dehors de V (𝔐), d’où l’assertion.

En outre, pour tout j ∈ [n], la k-algèbre B_{X_{j}} est k-isomorphe à k[V_{is}|s ≠ j] [X_{1}, ⋯, X_{n}][X_{j}^{−1}], donc

H𝔐^{0}(B) = H_{X_{j}}^{0}(B) ∀j ∈ [n] .

En particulier, lorsque k est intègre, l’idéal H𝔐^{0}(B) de B est premier, ainsi donc que l’idéal A = H𝔐^{0}(B)_{0} de ℓ. Enfin, on a que A ne divise pas zéro dans ℓ, et par suite A ≠ 0, d’après (2.3.2).

Supposons maintenant k factoriel. Alors l’idéal A est principal : étant premier, c’est la racine de l’idéal principal (^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n})). Tout générateur P de A est premier dans ℓ, et il existe un élément inversible u de k et un entier t ≥ 1 tels que

(2.3.4)  ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) = uP^{t} dans ℓ = k[V_{ij}/1 ≤ i, j ≤ n] .

Même lorsque m_{1} = m_{2} = ⋯ = m_{n} = 1, l’entier t n’est pas en général égal à 1. Voici deux exemples (où k peut être d’ailleurs quelconque).

a)  d_{1} = d_{2} = ⋯ = d_{n} = d ≥ 1 et f_{i} = ∑_{j=1}^{n} V_{ij}X_{j}^{d} .

Alors (formule de changement de base [J3] 5.12)

Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) = [dét (V_{ij})_{1≤i,j≤n}]^{d^{n−1}} .

b)  n = 2, d_{1}, d_{r} ≥ 1, f_{1} = uX_{1}^{d_{1}} − vX_{2}^{d_{1}}, f_{2} = wX_{1}^{d_{2}} − hX_{2}^{d_{2}},

avec u, v, w, h des indéterminées et ℓ = k[u, v, w, h]. Dans ce cas, on vérifie par récurrence sur (d_{1}, d_{2}) que

Res (uX_{1}^{d_{1}} − vX_{2}^{d_{1}}, wX_{1}^{d_{2}} − hX_{2}^{d_{2}})
= (−1)^{d_{1}}[u^{d_{2}/d}h^{d_{1}/d} − v^{d_{2}/d}w^{d_{1}/d}]^{d} ,

avec d := pgcd(d_{1}, d_{2}), dans ℓ.

2.4. On suppose de nouveau que m = ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise d = pgcd(d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}), et on se place dans la situation générique sur un anneau commutatif k :

A = k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}]

f_{i} = ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} U_{iα}X^{α} ∈ C = A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] .

Supposons en outre donnée une autre suite indexée par [n], soit (r_{1}, r_{2}, ⋯, r_{n}) d’entiers ≥ 1, et posons

R := ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})
B := A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})
D := A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}^{r_{1}}, f_{2}^{r_{2}}, ⋯, f_{n}^{r_{n}})
S := spec (A) P := ^{a}P_{S}^{n−1}
X := Proj (B) Y := Proj (D)

La C-suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) étant régulière (2.3.3), il en est de même pour (f_{1}^{r_{1}}, f_{2}^{r_{2}}, ⋯, f_{n}^{r_{n}}) [par ex : Bourbaki, Alg ch.10, prop 6 c) §9 n^{∘}7, p.158], et le C-module Z-gradué D admet une filtration de longueur r_{1}r_{2} ⋯ r_{n} dont les quotients sont de la forme B(−Σ_{i}s_{i}d_{i}), donc B(ν) avec m|ν.

Pour tout schéma T, notons Γ(T) l’anneau des sections globales de T. Lorsque k est intègre, on sait ([J3] 6.3.5 (A) (iii)) que R est premier dans A ; posons alors

P = (R) = H𝔐^{0}(B)_{0} .

On sait ([J3] 6.4.14) que le morphisme canonique X → spec(A/P) est birationnel ; par suite, le schéma A_{P} ⊗_{A} X, intègre et réduit à un point, est affine et isomorphe à spec (A_{P}/PA_{P}). Comme Y_{red} = X, on en déduit que A_{P} ⊗_{A} Y est local. Comme le C-module Z-gradué D admet une filtration de longueur r_{1}r_{2} ⋯ r_{n} dont les quotients consécutifs sont de la forme B(ν) avec m/ν, Γ(A_{P}⊗_{A}Y) admet une filtration de longueur r_{1}r_{2} ⋯ r_{n} par des idéaux dont les quotients consécutifs sont isomorphes à Γ(A_{P} ⊗_{A} X, O_{A_{P} ⊗_{A}X}(ν)) ≃ A_{P}/PA_{P} [comme m|ν, O_{X}(ν) est inversible], d’où

long (Γ(A_{P} ⊗_{A} Y)) = r_{1}r_{2} ⋯ r_{n} .

Posons 𝔡 := H𝔐^{0}(D)_{0}. Il est intéressant d’étudier le morphisme canonique A/𝔡 → Γ(Y, O_{Y}) de conoyau ≃ H𝔐^{1}(D)_{0}, et de voir à quelle condition, lorsque k est intègre, le localisé

(2.4.1)  (A/𝔡)_{P} → Γ(A_{P} ⊗_{A} Y) ≃ A_{P} ⊗_{A} Γ(Y)

est un isomorphisme. Sans hypothèse sur k, comme (f_{1}^{r_{1}}, f_{2}^{r_{2}}, ⋯, f_{n}^{r_{n}}) est régulière dans C, une simple paraphrase de la preuve de ([J4]2.7.11 b)) montre que

(2.4.2)  H𝔐^{1}(D)_{0} ≃ Ext_{A}^{1}(D_{Δ}, A)

avec Δ := (∑_{i=1}^{n} r_{i}d_{i}) − (∑_{i=1}^{n} m_{i}). Lorsque k est noethérien et intègre, on a

Ext_{A}^{1}(D_{Δ}, A)_{P} ≃ Ext_{A_{P}}^{1} ((D_{Δ})_{P}, A_{P}) .

Or A_{P} est de valuation discrète, et le A_{P}-module (D_{Δ})_{P} est de type fini, de dual isomorphe à A_{P} [(τ̂_{0})_{P} identifie Hom_{A_{P}} ((D_{Δ})_{P}, A_{P}) à un idéal non nul de A_{P}]. Par suite le morphisme d’anneaux (2.4.1) est un isomorphisme autrement dit Ext_{A_{P}}^{1} ((D_{Δ})_{P}, A_{P}) = 0 si et seulement si D_{P} ≃ A_{P}.

Supposons maintenant k factoriel et noethérien. Alors on sait (1.5.2) que l’idéal 𝔡 ⊂ A est principal et a même racine que l’idéal engendré par

(2.4.3)  ^{a}Res (f_{1}^{r_{1}}, f_{2}^{r_{2}}, ⋯, f_{n}^{r_{n}}) = R^{r_{1}r_{2}···r_{n}}

qu’il contient (multiplicativité : [J3] 6.3.9.1), donc que celui engendré par R. Par suite, il existe un entier t ≥ 1 tel que 𝔡 = P^{t} = (R^{t}), et on a

t ≤ r_{1}r_{2} ⋯ r_{n}

en conformité avec l’injectivité de (2.4.1) et le calcul de la longueur de Γ(A_{P} ⊗_{A} Y). La bijectivité de (2.4.1) équivaut dans ces conditions à l’égalité t = r_{1}r_{2} ⋯ r_{n}.

Mais, en fait, on a toujours :

t ≤ r_{1} + r_{2} + ⋯ + r_{n} − n + 1 := ρ

car une inclusion de la forme 𝔐^{N}R ⊂ (f_{1}, f_{2}, …, f_{n}) implique

𝔐^{Nρ}R^{ρ} ⊂ (f_{1}, f_{2}, …, f_{n})^{ρ} ⊂ (f_{1}^{r_{1}}, f_{2}^{r_{2}}, …, f_{n}^{r_{n}}),

puisque tout monôme T_{1}^{α_{1}}T_{2}^{α_{2}} ⋯ T_{n}^{α_{n}} de degré ρ est divisible par un des monômes T_{i}^{r_{i}} (i ∈ [n]). On en déduit que l’égalité t = r_{1}r_{2} ⋯ r_{n} n’est possible que si tous les entiers r_{i}, à l’exception éventuellement d’un seul, sont égaux à un.

Ces considérations donnent un certain intérêt à la proposition suivante, où k est de nouveau un anneau arbitraire.

Proposition 2.4.4.— Pour tout entier r ≥ 1, l’idéal

𝔡_{r} := H𝔐^{0} (A[X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}^{r}, f_{2}, …, f_{n}))_{0} ⊂ A

est principal (= A-libre) de générateur ^{a}Res(f_{1}, f_{2}, …, f_{n})^{r}.

Preuve : (Lorsqu’il y aura lieu de préciser l’anneau k de base, nous le mettrons en indice à gauche.) On se ramène tout d’abord à prouver l’assertion lorsque k = Z ou Z/pZ (p premier). Supposons en effet qu’elle soit vraie dans ce cas-là : la suite de A-modules

(2.4.5)  0 → _{Z}A ⟶^{R^{r}} _{Z}A ⟶^{can} ∏_{i=1}^{n} _{Z}D_{X_{i}}

(où D := A[X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}^{r}, f_{2}, …, f_{n})) est exacte et le demeure après tensorisation sur Z par Z/pZ pour tout nombre premier p. Or _{Z}A est un Z-module libre, et il en est de même pour les _{Z}D_{X_{i}}, qui admettent une filtration finie dont les quotients consécutifs sont isomorphes à

ZB_{X_{i}} ≃ Z[coeff. autres que ceux des X_{i}^{d_{j}/m_{i}} (j ∈ [n])][X_{1}, …, X_{n}][X_{i}^{−1}].

Par suite, posant Q := Coker(can) dans (2.4.5), on a : Tor_{i}^{Z}(Z/pZ, Q) = 0 (i ≥ 1, p premier). Le groupe abélien Q est donc sans Z-torsion, donc plat. Pour k arbitraire, la suite exacte (2.4.5) le demeure donc après tensorisation par k sur Z, ce qu’il fallait prouver.

Se rappelant qu’il s’agit de voir que R^{r−1} ∉ 𝔡_{r}, on ramène le cas où k = Z à celui où k = Q. On peut donc supposer que k est un corps. Mais alors l’assertion est conséquence d’une variante d’un résultat de NESTERENKO [Math. USSR Izvestija vol. 11 (1977) n^{∘}2, Prop. 3’ p. 249], en y remplaçant les formes linéaires génériques par le même nombre de polynômes génériques, ce qui est possible du fait qu’on est dans le cas standard. De façon précise, posons

K := k(U_{1α}| deg_{a}(X^{α}) = d_{1}) (k corps).

L’idéal (f_{1}) de K[X_{1}, …, X_{n}] est premier, et l’idéal (f_{1}^{r}) est (f_{1})-primaire d’indice r. Posant 𝔄 := (R) il en résulte que, dans

k(U_{1α}| deg_{a}(X^{α}) = d_{1})[U_{iα}|i ≥ 2, deg_{a}(X^{α}) = α_{i}],

l’idéal 𝔡 ⊗_{k[U_{1α}]} K est (𝔄 ⊗_{k[U_{1α}]} K)-primaire d’indice r, d’où l’assertion à démontrer.

Corollaire 2.4.6.— (Cas générique standard sur un anneau commutatif k) Pour tout (i, α) avec deg_{a}(X^{α}) = d_{i}, l’élément ∂R/∂U_{iα} ne divise pas zéro dans l’anneau A/(R) (et donc aussi dans A puisqu’alors (R, ∂R/∂U_{iα}) est une suite régulière homogène).

Preuve : Montrons par exemple que ∂R/∂U_{iα} ne divise pas 0 dans A/R, l’énoncé analogue pour A pouvant se prouver directement de même. Supposons d’abord que ce soit prouvé lorsque k = Z ou Z/pZ (p premier). Alors la suite exacte canonique

(2.4.7)  0 →_{Z} (A/R) ⟶^{∂R/∂U_{iα}}_{Z} (A/R) → Q → 0

demeure exacte après tensorisation sur Z par Z/pZ pour tout p premier ; comme_{Z}(A/R) est sans Z-torsion, on en déduit que Q est sans Z torsion, donc plat sur Z, et l’assertion dans le cas général s’en déduit par tensorisation par k sur Z de la suite exacte (2.4.7). On peut donc supposer k intègre. Alors R est premier et, pour tout multi-indice β,

(2.4.8)  H_{X^{β}}^{0}(B) = H𝔐^{0}(B) ,

puisque, pour tout (j, ℓ), l’élément X_{j} ne divise pas zéro dans B_{X_{ℓ}} ([J3] (6.3.6.4)). Supposons, par exemple, que i = 1, et montrons que \frac{∂R}{∂U_{1α}} ≢ 0 mod R. Sinon, pour des raisons de degré d’homogéneité, on a : \frac{∂R}{∂U_{1α}} = 0 dans A. Comme R est une forme d’inertie, il existe un entier N et des polynômes g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n} de C tels que

(2.4.9)  X_{n}^{N}R = g_{1}f_{1} + g_{2}f_{2} + ⋯ + g_{n}f_{n} dans C .

Par dérivation de cette égalité par rapport à U_{1α}, on obtient

0 = X^{α}g_{1} + ∑_{j=1}^{n} \frac{∂g_{j}}{∂U_{1α}} .f_{j} .

D’où, par comparaison avec (2.4.9),

(2.4.10)  X^{α}X_{n}^{N}R = −f_{1}(∑_{j=1}^{n} \frac{∂g_{j}}{∂U_{1α}} f_{j}) + X^{α} ∑_{j≥2} g_{j}f_{j} ∈ (f_{1}^{2}, f_{2}, ⋯, f_{n}).

Mais la filtration de D := A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}^{2}, f_{2}, ⋯, f_{n}) ci-après

0 → B(−d_{1}) ⟶^{f_{1}} D → B → 0

montre que, pour tout couple (j, ℓ) d’entiers ∈ [n], l’élément X_{j} ne divise pas 0 dans D_{X_{ℓ}}, donc que H_{X^{α}X_{n}^{N}}^{0} (D) = H𝔐^{0}(D). De (2.4.10), on déduit alors que R appartient à

H𝔐^{0}(A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}^{2}, f_{2}, ⋯, f_{n}))_{0}, donc que R^{2}|R par (2.4.4) .

D’où une contradiction.

Corollaire 2.4.11.— (Cas générique standard sur un anneau commutatif k) Soit (r_{1}, r_{2}, ⋯, r_{n}) une suite d’entiers ≥ 1. On pose

B = A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}); D = A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}^{r_{1}}, f_{2}^{r_{2}}, ⋯, f_{n}^{r_{n}})

A = H𝔐^{0}(B)_{0} = (^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})) ⊂ A

Δ = ∑_{i≥1} r_{i}d_{i} − ∑_{i≥1} m_{i} .

Avec ces notations :

(i) Pour tout idéal J de A tel que H_{J}^{0}(A) = 0, on a

A^{r_{1}+r_{2}+···+r_{n}−n+1}H_{J}^{0}(D) = 0 ,

et en particulier H_{J}^{0}(D) ⊂ H_{A}^{0}(D).

(ii) On a ⨁_{ν>Δ} D_{ν} ⊂ H_{A}^{0}(D). De plus, lorsque tous les entiers r_{i} à l’exception éventuelle de l’un d’eux sont égaux à 1, on a l’égalité

⨁_{ν>Δ} D_{ν} = H_{A}^{0}(D) .

Preuve : Montrons (i). Comme la suite (f_{1}^{r_{1}}, f_{2}^{r_{2}}, ⋯, f_{n}^{r_{n}}) est régulière dans C, la transgression

τ̂ : ⨁_{ν} D_{Δ−ν}^{∨} → H𝔐^{0}(D)

est un isomorphisme de D-modules, d’où H_{J}^{0}(H𝔐^{0}(D)) = 0. Par suite, on a H_{J}^{0}(D) ∩ H𝔐^{0}(D) = 0, et H_{J}^{0}(D) s’identifie par la projection D → D/H𝔐^{0}(D) à un sous D-module de D/H𝔐(D), annulé par A/(H𝔐^{0}D)_{0}. L’assertion résulte alors de ce que Res(f_{1}, ⋯, f_{n})^{r_{1}+r_{2}+···+r_{n}−n+1} appartient à H𝔐^{0}(D)_{0} (2.4.3). Pour ν > Δ, il résulte de (1.5.1) que H𝔐^{0}(D)_{ν} = H𝔐^{1}(D)_{ν} = 0, donc que D_{ν} ⟶^{∼} Γ(Y, O_{Y} (ν)), en posant Y := Proj (D) ; comme les Γ(Y, O_{Y} (ν)) sont des Γ(Y, O_{Y})-modules, ils sont annulés par H𝔐^{0}(D)_{0} = Ker (can : A → Γ(Y, O_{Y})), d’où la première partie de (ii). Pour la deuxième, il s’agit de montrer que, lorsque, par exemple, (r_{1}, r_{2}, ⋯, r_{n}) = (r, 1, 1, ⋯, 1), on a

H_{A}^{0}(D_{ν}) = 0 lorsque 0 ≤ ν ≤ Δ .

Montrons d’abord qu’il suffit de prouver que H_{A}^{0}(D_{Δ}) = 0. Supposons qu’il en soit ainsi, et soit x ∈ D_{ν}(0 ≤ ν ≤ Δ) tel que Ax = 0. On en déduit 𝔐^{Δ−ν}Ax = 0 dans D_{Δ}, d’où par hypothèse 𝔐^{Δ−ν}x = 0, et par suite

x ∈ H_{A}^{0}(D) ∩ H𝔐^{0}(D) = 0

d’après le début de la preuve de (i) : A ne divise pas zéro dans A. Posant R := Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}), il nous reste à montrer que la multiplication par R :

×R : D_{Δ} → D_{Δ}

est injective. Comme d’habitude, il suffit de le prouver lorsque k = Z ou Z/pZ ; comme, d’après le lemme (2.4.17) ci-après, _{Z}D_{Δ} est sans torsion, cela impliquera en effet que Coker (×R :_{Z} D_{Δ} →_{Z} D_{Δ}) est Z-plat, d’où l’assertion dans le cas général en tensorisant par k sur Z. Lorsque k = Z ou Z/pZ (p premier), nous avons vu (préliminaires à 2.4.4) que

(D_{Δ})_{A} ≃ A_{A} .

Si x ∈ D_{Δ} est tel que Rx = 0, on a \frac{x}{1} = 0 dans (D_{Δ})_{A} et il existe donc un élément a de A \ A tel que ax = 0. Pour tout i ∈ [n], l’élément a ne divise pas zéro dans l’anneau intègre B_{X_{i}} ⊃ A/A ; par suite, l’élément a ne divise pas zéro dans D_{X_{i}}, qui admet une filtration finie par des D_{X_{i}}-modules dont les quotients consécutifs sont isomorphes à B_{X_{i}}. Utilisant la suite exacte canonique

0 → H𝔐^{0}(D) → D ⟶^{θ} Π_{i=1}^{n}D_{X_{i}},

on en conclut que θ(x) = 0, donc que x ∈ H_{A}^{0}(D) ∩ H𝔐^{0}(D) = 0 (début preuve de (i)).

Lemme 2.4.12.— (k et (r_{1}, r_{2}, ⋯, r_{n}) arbitraires) Tout idéal J de k qui ne divise pas zéro dans k ne divise pas zéro dans D.

Preuve On considère de nouveau la suite exacte canonique

0 → H𝔐^{0}(D) → D ⟶^{θ} Π_{i=1}^{n}D_{X_{i}} .

Par l’isomorphisme de transgression τ̂, on voit que J ne divise pas zéro dans H𝔐^{0}(D) ; par ailleurs, la filtration des D_{X_{i}} par des D-modules isomorphes à B_{X_{i}}, donc k-libres ([J3] 6.3.6.2), montre que J ne divise pas non plus 0 dans Π_{i=1}^{n}D_{X_{i}}. Le lemme s’en déduit aussitôt.

Corollaire 2.4.13.— Plaçons-nous sous les hypothèses de (2.4.4), avec les notations

D = A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}^{r}, f_{2}, ⋯, f_{n}), Y = Proj(D)

𝔓 = (^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})) , 𝔡 = H𝔐^{0}(D)_{0}

Δ = rd_{1} + d_{2} + ⋯ + d_{n} − (m_{1} + m_{2} + ⋯ + m_{n}),

et supposons de plus k intègre. Alors :

(i) Le morphisme d’anneaux canonique A/𝔡 → Γ(Y, O_{Y}) induit par localisation un

isomorphisme

(A/𝔡)𝔓 ⟶^{∼} Γ(Y, O_{Y})𝔓 .

(ii) Le A𝔓-module (D_{Δ})𝔓 est isomorphe à A𝔓.

Preuve L’acyclicité du complexe Kosz(f_{1}^{r}, f_{2}, ⋯, f_{n}) montre que D_{Δ} est de ∞-présentation finie, d’où

Ext_{A}^{1}(D_{Δ}, A)𝔓 ≃ Ext_{A𝔓}^{1}((D_{Δ})𝔓, A𝔓),

et nous avons déjà mentionné que, sans hypothèse sur k, (2.4.2)

Coker (A/𝔡 → Γ(Y, O_{Y})) = H𝔐^{1}(D)_{0} ≃ Ext_{A}^{1}(D_{Δ}, A) .

Par suite (ii) ⇒ (i). Par ailleurs, 𝔓 étant principal, l’anneau A𝔓 est de valuation discrète ; comme D_{Δ} est sans R-torsion (R :=^{a} Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})), on déduit que (D_{Δ})𝔓 est libre sur A𝔓, nécessairement de rang 1 puisque (τ̂_{0})𝔓 : (Ď_{Δ})𝔓 ⟶^{∼} ∂A𝔓 ≃ A𝔓 (d’après (2.4.4). [On remarquera que nous n’avions pour l’instant prouvé (2.4.13) que pour k factoriel noethérien.]

2.5. Soient n un entier ≥ 1, et (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) une suite indexée par [n] d’entiers ≥ 1. On pose m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n})

Soit ℓ un anneau commutatif, et 𝔐 = (X_{1}, ⋯, X_{n}) ⊂ ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]. Etant donné un entier d multiple de m, introduisons des indeterminées U_{α}(deg_{a}(X^{α}) = d). Posons ℓ[\underline{U}] := ℓ[U_{α}| deg_{α}(X^{α}) = d], et, pour tout ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]-module M,

M[\underline{U}] := M[U_{α}| deg_{α}(X^{α}) = d] (≃ ℓ[\underline{U}] ⊗_{ℓ} M).

Enfin, notons

φ := ∑_{deg_{a}(X^{α})=d} U_{α}X^{α} ∈ ℓ[\underline{U}][X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}],

ε_{i} = (0, ⋯, 0, 1, 0, ⋯, 0) (1 à la ième place).

La présence, pour tout i ∈ [n], de X_{i}^{d/m_{i}} comme coefficient de U_{\frac{d}{m_{i}} ε_{i}} dans φ ∈ ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}][\underline{U}], montre, d’après le lemme de Dedekind-Mertens, que le noyau de la multiplication φ_{M[\underline{U}]} par φ dans M[\underline{U}] est à support dans V (X_{1}^{d/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d/m_{n}}) = V (𝔐), autrement dit φ_{M[\underline{U}]} est injective en dehors de V (𝔐).

Supposons maintenant donnés un ensemble fini I non vide et une partition indexée par [r] (r entier ≥ 1) de I par des ensembles finis non vides

I = ∐_{1≤j≤r} I_{j} .

Soit (d_{i})_{i∈I} une famille d’entiers ≥ 1 et divisibles par m.

Introduisons une famille d’indéterminées

U_{iα}(i ∈ I, deg_{a}(X^{α}) = d_{i}).

Cela étant, étant donné en outre un anneau commutatif k, posons

A := k[U_{iα}|i ∈ I, deg_{a}(X^{α}) = d_{i}]

f_{i} := ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} U_{iα}X^{α} ∈ A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}],

et, pour toute partie J de I,

A_{J} := k[U_{iα}|i ∈ J, deg_{a}(X^{α}) = d_{i}].

Si J et J′ sont deux parties de I, avec J ⊂ J′, alors A_{J′} est un A_{J}-module libre, donc plat. A partir de là, et utilisant les considérations du début du paragraphe, on voit que, pour toute famille (t_{i})_{i∈I} d’entiers ≥ 0, posant

g_{j} = ∏_{i∈I_{j}} f_{i}^{t_{i}} (j ∈ [r]),

la suite (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{r}) d’éléments de A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] est régulière (et même commutativement régulière) en dehors de V (𝔐). Dans le cas où r ≤ n, et où ∑_{i∈I_{j}} t_{i} > 0 pour tout j ∈ [r], on conclut alors de (1.5.1) [quitte à agrandir I si r < n]. que la suite (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{r}) d’éléments de A[X_{1}, ⋯, X_{n}] est régulière.

Introduisons encore les notations suivantes :

V_{i} := U_{i, \frac{d_{i}}{mn} ε_{n}} (i ∈ I)

B^{⟨j⟩} = A_{⨿_{s≤j}I_{j}}[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{j}) (j ∈ [r])

B^{⟨0⟩} = k[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]

R_{j} := [B^{⟨j−1⟩}]_{X_{n}}[U_{iα}|i ∈ I_{j}, α ≠ \frac{d_{i}}{m_{n}} ε_{n}] (j ∈ [r]).

Pour tout j ∈ [r], le coefficient de X_{n}^{(∑_{i∈I_{j}} t_{i}d_{i})/m_{n}} dans g_{j} est ∏_{i∈I_{j}} V_{i}^{t_{i}}, d’où l’existence d’un élément c_{j} de R_{j} et d’un isomorphisme de k-algèbres

B_{X_{n}}^{⟨j⟩} ≃ R_{j}[V_{i}|i ∈ I_{j}]/(( ∏_{i∈I_{j}} V_{i}^{t_{i}}) − c_{j}).

Posant B = B^{⟨r⟩} := A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{r}), on en déduit par récurrence, à partir du lemme (2.5.1) ci-après, que le k-module B_{X_{n}}, et partant tous les k-modules B_{X_{i}}(i ∈ [n]), sont k-libres.

Lemme 2.5.1.— Soient R un anneau commutatif, m un entier ≥ 1, U_{1}, U_{2}, ⋯, U_{m} des indéterminées, t_{1}, t_{2}, ⋯, t_{m} des entiers non tous nuls, c un élément de R. Alors la R-algèbre

S := R[U_{1}, U_{2}, ⋯, U_{m}]/(U_{1}^{t_{1}}U_{2}^{t_{2}} ⋯ U_{m}^{t_{m}} − c)

est un R-module libre de base les monomes U_{1}^{α_{1}}U_{2}^{α_{2}} ⋯ U_{m}^{α_{m}} avec α_{i} < t_{i} pour un i ∈ [m] au moins.

Preuve : Posons U^{t} := U_{1}^{t_{1}}U_{2}^{t_{2}} ⋯ U_{m}^{t_{m}}. Etant donné un monôme U^{α}, il existe un plus grand entier s ≥ 0 tel que (U^{t})^{s} divise U^{α} :

U^{α} = (U^{t})^{s}U^{β} avec β_{i} < t_{i} pour au moins un i .

Alors U^{α} ≡ c^{s}U^{β} mod(U^{t} − c), ce qui montre que les monômes de l’énoncé (que nous appelerons “réduits”) engendrent le R-module S. Par ailleurs, une égalité

∑_{U^{α} réduit} r_{α}U^{α} = (U^{t} − c)Q dans R[U_{1}, U_{2}, ⋯, U_{m}]

(r_{α} ∈ R ∀α) implique aussitôt r_{α} = 0 ∀α par comparaison, par exemple, dans le cas contraire, des plus grands monômes pour l’ordre lexicographique du support des deux membres.

Nous allons expliciter un cas particulier de ces considérations générales.

Proposition 2.5.2.— Soient k un anneau commutatif, I un ensemble fini, et pour tout i ∈ I un entier d_{i} ≥ 1 divisible par m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}). On suppose donnée une partition indexée par [n] de I par des parties non vides :

I = ∐_{j∈[n]} I_{j} .

Les notations A, f_{i} ayant la signification explicitée précédemment, on pose

g_{j} := ∏_{i∈I_{j}} f_{i} (j ∈ [n]).

Alors :

(i) La suite (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n}) d’éléments de C := A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] est régulière.

(ii) Posons B := C/(g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n}). Pour tout i ∈ [n], le k-module B_{X_{i}} est libre. De plus, lorsque l’anneau k est réduit, les k-algèbres B_{X_{i}}(i ∈ [n]) et B/H𝔐^{0}(B) sont réduites.

(iii) L’idéal A := H𝔐^{0}(B)_{0} de A est engendré par

aRes (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n}) = ∏_{h}^{a}Res (f_{h(1)}, f_{h(2)}, ⋯, f_{h(n)}),

où h parcourt l’ensemble des applications [n] → I telles que h(j) ∈ I_{j} pour tout j ∈ [n].

Preuve : Nous venons de prouver, dans un contexte plus général, l’assertion (i) et la première partie de (ii). Pour la deuxième partie de (ii), on procède de même par récurrence, à partir du lemme (2.5.3) ci-après pour montrer que les B_{X_{i}} sont réduits ; comme B/H𝔐^{0}B ⊂ ∏_{i=1}^{n} B_{X_{i}}, il en résulte aussi que B/H𝔐^{0}B est réduit.

Lemme 2.5.3.— Soient R un anneau commutatif réduit, m un entier ≥ 1, U_{1}, U_{2}, ⋯, U_{m} des indéterminées, et c un élément de R.

Alors la R-algèbre

S := R[U_{1}, U_{2}, ⋯, U_{m}]/(U_{1}U_{2} ⋯ U_{m} − c)

est réduite.

Montrons le. Lorsque R est un corps, on a, ou bien c = 0, auquel cas l’assertion est immédiate, ou bien c inversible dans R, auquel cas

S ≃ R[U_{1}, U_{2}, ⋯, U_{m}, U_{1}^{−1}, U_{2}^{−1}, ⋯, U_{m}^{−1}]

est intègre. Dans le cas général, le fait que R soit réduit se traduit par l’injectivité du morphisme d’anneaux canonique

R → ∏_{P∈spec(R)}(R_{P}/PR_{P}) .

Comme S est R-libre (2.5.1) on en déduit (en regardant les composantes d’un élément sur une base) que le morphisme d’anneaux que l’on en déduit

S → ∏_{P∈Spec(R)}(R_{P}/PR_{P}[U_{1}, ⋯, U_{m}])/(U_{1}U_{2} ⋯ U_{m} − c̄)

est aussi injectif, d’où aussitôt l’assertion à partir de l’assertion déjà prouvée pour les corps.

Montrons enfin (iii). La formule de l’énoncé résulte de la propriété de multiplicativité pour les résultants. Il s’agit de montrer que la suite

0 → A ⟶^{^{a}Res (g_{1},···,g_{n})} A ⟶^{can} ∏_{i=1}^{n} B_{X_{i}}

est exacte. Comme d’habitude, on se ramène à le prouver lorsque k = Z ou Z/pZ (p premier) : une fois observé que les _{Z}B_{X_{i}} sont sans Z-torsion (ii), cela implique que Q := Coker (can) est Z-plat. Mais lorsque k est factoriel l’idéal A est une racine (A/A ⊂ B/H𝔐^{0}B) d’après (ii), et d’autre part on sait qu’il a même racine que l’idéal engendré par le polynôme ^{a}Res (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n}) qui, au vu de son expression rappelée dans l’énoncé, est “quadratfrei”. D’où A = (^{a}Res (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n})) dans ce cas, ce qui achève la démonstration.

3. Structure de la transgression et inertie.

Le propos de ce paragraphe est d’expliciter, au moins dans le cas générique, les morphismes de transgression τ̂_{ν} de (1.3). Nous aurons d’abord besoin pour cela de quelques généralités.

3.1. Soient R, S deux anneaux commutatifs, et α : R → S une structure de R-algèbre sur S. On note

\begin{matrix}mult_{S/R} : S ⊗_{R} S & → S \\ x ⊗_{R} y & ↦ xy \end{matrix}

la multiplication de S, et

I_{S/R} := Ker (mult_{S/R})

l’idéal de S ⊗_{R} S engendré par les éléments de S ⊗_{R} S qui sont de la forme x ⊗ 1 − 1 ⊗ x(x ∈ S).

Pour tout S-module P et tout s ∈ S, on note s_{P} : P → P la multiplication par s dans P. Etant donnés deux S-modules M et N, on prolonge la structure de R-module de Hom_{R}(M, N) en une structure de (S⊗_{R}S)-module au moyen de la loi de composition

(S ⊗_{R} S) × Hom_{R}(M, N) → Hom_{R}(M, N).
[(s ⊗_{R} t), u] ↦ t_{N} ∘ u ∘ s_{M}

Pour cette structure de (S ⊗_{R} S)-module, on a alors

(3.1.1)  Hom_{S}(M, N) = {u ∈ Hom_{R}(M, N)|(s ⊗ 1 − 1 ⊗ s)u = 0 ∀s ∈ S}
= {u ∈ Hom_{R}(M, N)|I_{S/R}.u = 0},

identifiant ainsi Hom_{S}(M, N) au sous (S ⊗_{R} S)-module de Hom_{R}(M, N) formé des éléments annulés par I_{S/R}.

Le cas qui nous intéresse ici est celui où N = S et M = Š := Hom_{R}(S, R), ce dernier étant muni de la structure de S-module définie par

s ∗ u := u ∘ s_{S} (s ∈ S, u ∈ Š).

Le R-module Hom_{R}(Š, S) contient l’élément

\begin{matrix}e_{S/R} : Š & → S , \\ v & ↦ (α ∘ v)(1_{S}) \end{matrix}

ce qui permet de définir une application (S ⊗_{R} S)-linéaire

(3.1.2)  \begin{matrix}θ_{S/R} : S ⊗_{R} S & → Hom_{R}(Š, S) ; \\ s ⊗_{R} t & ↦ (s ⊗_{R} t).e_{S/R} \end{matrix}

pour tout (s, t) ∈ S × S, l’application θ_{S/R}(s ⊗_{R} t) est ainsi définie par

\begin{matrix}θ_{S/R}(s ⊗_{R} t) : Š & → S \\ v & ↦ t.(α ∘ v)(s) = v(s).t , \end{matrix}

où la deuxième expression traduit la structure de R-module de S au moyen de α.

Identifions, par mult_{S/R}, les anneaux S et (S ⊗_{R} S)/I_{S/R}. Alors, il résulte aussitôt de (3.1.1) que θ_{S/R} induit une application S-linéaire, notée de même si aucune confusion n’est possible,

(3.1.3)  θ_{S/R} : ann_{S⊗_{R}S}(I_{S/R}) → Hom_{S}(Š, S)

∑_{ℓ} s_{ℓ} ⊗_{R} t_{ℓ} ↦ [v ↦ ∑_{ℓ} v(s_{ℓ}).t_{ℓ}] .

3.2. Soit S un anneau commutatif Z-gradué :

S = ⨁_{p∈Z} S_{p} ,

avec 1 ∈ S_{0} et S_{p}S_{q} ⊂ S_{p+q} pour tout (p, q) ∈ Z^{2}.

On rappelle que, par définition, un S-module Z-gradué est un S-module M muni d’une décomposition en somme directe indexée par Z de groupes abéliens

M = ⨁_{p∈Z} M_{p} ,

ces données étant assujetties aux conditions

(3.2.1)  S_{p}M_{q} ⊂ M_{p+q}  (p, q ∈ Z) .

Etant donnés deux S-modules Z-gradués M et N, on dit qu’une application S-linéaire u : M → N est homogène de degré p lorsque

u(M_{ℓ}) ⊂ N_{ℓ+p} pour tout ℓ ∈ Z .

Pour tout p ∈ Z, il est immédiat que l’ensemble, noté

Hom_{S}(M, N)_{p} ⊂ Hom_{S}(M, N) ,

des applications S-linéaires de degré p de M dans N est un sous-groupe abélien de Hom_{S}(M, N). Si p ≠ q, les égalités N_{ℓ+p} ∩ N_{ℓ+q} = 0 ∀ℓ ∈ Z montrent que

Hom_{S}(M, N)_{p} ∩ Hom_{S}(M, N)_{q} = 0

dans Hom_{S}(M, N). Par suite,

Hom_{S}^{gr}(M, N) := ⨁_{p∈Z} Hom_{S}(M, N)_{p}

se réalise comme sous-groupe abélien de Hom_{S}(M, N).

Si M, N, P sont trois S-modules Z-gradués, et p, q ∈ Z, la composition des applications S-linéaires

Hom_{S}(M, N) × Hom_{S}(N, P) → Hom_{S}(M, P)
(u, v) ↦ v ∘ u

envoie Hom_{S}(M, N)_{p} × Hom_{S}(N, P)_{q} dans Hom_{S}(M, P)_{p+q}. D’où une loi de composition induite

(3.2.2)  Hom_{S}^{gr}(M, N) × Hom_{S}^{gr}(N, P) → Hom_{S}^{gr}(M, P) .

Soit M un S-module Z-gradué. Il résulte aussitôt de (3.2.1) que le morphisme d’anneaux S ∋ s ↦ s_{M} a son image contenue dans Hom_{S}^{gr}(M, M).

Soient M et N deux S-modules Z-gradués. La remarque précédente et l’existence de (3.2.2) montrent que Hom_{S}^{gr}(M, N) est un sous-S-module du S-module Hom_{S}(M, N).

Exemple 3.2.3. Soit R un anneau commutatif, et munissons-le de la Z-graduation triviale : R_{0} = R , R_{p} = 0 si p ≠ 0. Alors un R-module Z-gradué n’est autre qu’un R-module M muni d’une décomposition en somme directe indexée par Z de R-modules : M = ⨁_{p∈Z} M_{p}. Si M et N sont deux R-modules Z-gradués, ce qui précède permet d’identifier Hom_{R}^{gr}(M, N) à un sous R-module de Hom_{R}(M, N). Dans le cas particulier où N := R, nous poserons

D_{R}^{gr}(M) := Hom_{R}^{gr}(M, R) ,

de sorte que

D_{R}^{gr}(M)_{p} = Hom_{R}(M_{−p}, R) (p ∈ Z) .

3.3. Soit R un anneau commutatif, et S un anneau commutatif Z-gradué muni d’une structure de R-algèbre α : R → S pour laquelle α(R) ⊂ S_{0}.

Munissant R de la Z-graduation triviale (3.2.3), on voit que tout S-module Zgradué M est muni par α d’une structure de R-module Z-gradué.

Soient M et N deux S-modules Z-gradués. La comparaison de (3.2.1) et (3.2.2) montre que, munissant Hom_{R}(M, N) de sa structure de (S ⊗_{R} S)-module canonique

(s ⊗ t).u := t_{N} ∘ u ∘ s_{M}

(s, t ∈ S, u ∈ Hom_{R}(M, N)), le R-module

Hom_{R}^{gr}(M, N) ⊂ Hom_{R}(M, N)

est un sous (S ⊗_{R} S)-module de Hom_{R}(M, N). De plus, munissant S ⊗_{R} S de la Zgraduation produit tensoriel

(S ⊗_{R} S)_{m} := ⨁_{p+q=m} S_{p} ⊗_{R} S_{q} (m ∈ Z),

la Z-graduation canonique du R-module Hom_{R}^{gr}(M, N) est compatible avec la Z-graduation de S⊗_{R}S, ce qui permet de considérer Hom_{R}^{gr}(M, N) comme (S⊗_{R}S)-module Z-gradué. L’idéal I_{S/R} de S⊗_{R}S est gradué et la multiplication induit un isomorphisme d’anneaux Z-gradués

\overline{mult}_{S/R} : (S ⊗_{R} S)/I_{S/R} ⟶^{∼} S .

Cela étant, il résulte de (3.1.1) que

(3.3.1)  Hom_{S}^{gr}(M, N) = {u ∈ Hom_{R}^{gr}(M, N)|I_{S/R}u = 0} ,

et l’on peut ainsi identifier le S-module Hom_{S}^{gr}(M, N) au (S ⊗_{R} S)-sous-module de Hom_{R}^{gr}(M, N) formé des éléments annulés par I_{S/R}.

Paraphrasant (3.1), on s’intéresse au cas où N = S et M = D_{R}^{gr}(S) := Hom_{R}^{gr}(S, R) (3.2.3), muni de la structure de S-module s.u := u ∘ s_{S} (s ∈ S, u ∈ D_{R}^{gr}(S)). Alors l’application R-linéaire

(3.3.2)  \begin{matrix}e_{S/R}^{gr} : D_{R}^{gr}(S) = ⨁_{p} Hom_{R}(S_{−p}, R) & → S \\ ⨁_{p} v_{p} & ↦ α[v_{0}(1)] \end{matrix}

est un élément homogène de degré 0 du (S ⊗_{R} S)-module Z-gradué Hom_{R}^{gr}(D_{R}^{gr}(S), S). Ceci permet en particulier de considérer l’application (S⊗_{R}S)-linéaire ((Z×Z)-homogène de degré (0, 0))

(3.3.3)  \begin{aligned}θ_{S/R}^{gr} : S ⊗_{R} S & → Hom_{R}^{gr}(D_{R}^{gr}(S), S) \\ s ⊗_{R} t & ↦ (s ⊗_{R} t).e_{S/R}^{gr} \\ & := t_{S} ∘ e_{S/R}^{gr} ∘ s_{D_{R}^{gr}(S)}. \end{aligned}

Par définition, pour tout s = ⨁_{p} s_{p} ∈ S et tout t ∈ S, on a

(3.3.4)  \begin{aligned}θ_{S/R}^{gr}(s ⊗_{R} t) : & ⨁_{p} Hom_{R}(S_{−p}, R) → S \\ & ⨁_{p} v_{p} ↦ t.α(∑_{p} v_{−p}(s_{p})) = [∑_{p} v_{−p}(s_{p})].t , \end{aligned}

où le point de la dernière égalité correspond à la structure de R-module sur S définie par α.

Compte tenu de (3.3.1), l’application θ_{S/R}^{gr} induit à son tour une application S = (S ⊗_{R} S)/I_{S/R}-linéaire, notée de même si aucune confusion n’est possible,

(3.3.5)  θ_{S/R}^{gr} : ann_{S⊗_{R}S}(I_{S/R}) → Hom_{S}^{gr}(D_{R}^{gr}(S), S),

qui est homogène de degré 0 pour les structures canoniques de S-modules Z-gradués des deux membres.

3.4 Comme au début de (1.1), soit (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) une suite indexée par [n](n ≥ 1) d’entiers ≥ 1, ℓ un anneau commutatif. Affectant les indéterminées X_{i}(1 ≤ i ≤ n) du poids m_{i}, on note C la ℓ-algèbre de polynômes N-graduée

C := ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] .

Enfin, on se donne un idéal N-gradué J de C, et on pose

𝔐 := (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}) ⊂ C
R := ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]/J .

L’anneau R étant canoniquement Z-gradué, on munit la ℓ-algèbre R ⊗_{ℓ} R de la (Z × Z)- graduation correspondante, ainsi que de la Z-graduation produit tensoriel associée.

L’idéal

ann_{R⊗_{ℓ}R}(I_{R/ℓ}) = {ξ ∈ R ⊗_{ℓ} R|(s ⊗ 1 − 1 ⊗ s)ξ = 0 ∀p ∀s ∈ R_{p}}

est Z-gradué, qu’on le considère comme (R⊗_{ℓ}R)-module, ou comme R-module au moyen de l’isomorphisme de ℓ-algèbres Z-graduées \overline{mult}_{R/ℓ} : (R ⊗_{ℓ} R)/I_{R/ℓ} ⟶^{∼} R.

Soit ξ ∈ ann_{R⊗_{ℓ}R}(I_{R/ℓ}), et

ξ = ∑_{(p,q)∈Z^{2}} ξ_{pq} , avec ξ_{pq} ∈ R_{p} ⊗_{ℓ} R_{q}

sa décomposition en éléments Z^{2}-homogènes. Posant x_{j} := X̄_{j} ∈ R (j ∈ [n]), les égalités

(x_{j} ⊗ 1 − 1 ⊗ x_{j})ξ = 0 dans R ⊗_{ℓ} R

montrent que, pour tout j ∈ [n] et tout (p, q) ∈ Z^{2},

(x_{j} ⊗ 1)ξ_{pq} = (1 ⊗ x_{j})ξ_{p+m_{j},q−m_{j}}

dans R_{p+m_{j}} ⊗_{ℓ} R_{q}. Par itération, on en déduit que, pour toute suite j_{1}, j_{2}, ⋯, j_{ℓ} d’entiers ∈ [n],

(x_{j_{1}}x_{j_{2}} ⋯ x_{j_{ℓ}} ⊗ 1)ξ_{pq} = (1 ⊗ x_{j_{1}}x_{j_{2}} ⋯ x_{j_{ℓ}})ξ_{p+∑_{1≤s≤ℓ} m_{js} ,q} − ∑_{1≤s≤ℓ} m_{j_{s}}

dans R ⊗_{ℓ} R. Comme R_{p} ⊗_{ℓ} R_{q} = 0 si q < 0, on en déduit que

(x_{j_{1}}x_{j_{2}} ⋯ x_{j_{ℓ}} ⊗ 1)ξ_{pq} = 0 si ∑_{1≤s≤ℓ} m_{j_{s}} > q .

Posant

μ := max{p + q|ξ_{pq} ≠ 0} ∈ N ∪ {−∞} ,

on en déduit que

(3.4.1)  (R_{>μ} ⊗_{ℓ} 1)ξ = 0

et, de même,

(1 ⊗_{ℓ} R_{>μ})ξ = 0 .

En particulier,

(3.4.2)  ann_{R⊗_{ℓ}R}(I_{R/ℓ}) ⊂ H_{𝔐⊗_{ℓ}R+R⊗_{ℓ}𝔐}^{0}(R ⊗_{ℓ} R).

Utilisant la R-linéarité de θ_{R/ℓ}(ξ) (resp. θ_{R/ℓ}^{gr}(ξ)) défini en (3.1) et (3.3) respectivement, on déduit de (3.4.1) que

R_{>μ}.θ_{R/ℓ}(ξ) = 0 dans Hom_{R}(Hom_{ℓ}(R, ℓ), R)
(resp. R_{>μ}.θ_{R/ℓ}^{gr}(ξ) = 0 dans Hom_{R}(D_{ℓ}^{gr}(R), R)).

En particulier,

(3.4.3)  Imθ_{R/ℓ}^{gr}(ξ) ⊂ Im θ_{R/ℓ}(ξ) ⊂ H𝔐^{0}(R).

3.5 Soit ℓ un anneau commutatif, J un idéal de l’anneau de polynômes ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}], et

R := ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]/J = ℓ[\underline{X}]/J(\underline{X}) .

Introduisons une deuxième suite d’indéterminées Y_{1}, Y_{2}, ⋯, Y_{n}, de sorte que R ⊗_{ℓ} R s’identifie à

ℓ[\underline{X}, \underline{Y}]/(J(\underline{X}), J(\underline{Y})).

Pour toute suite (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n}) d’éléments de J, choisissons des décompositions

g_{i}(\underline{X}) − g_{i}(\underline{Y}) = ∑_{j∈[n]}(X_{j} − Y_{j})g_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})

dans ℓ[\underline{X}, \underline{Y}]. Comme (X_{1}−Y_{1}, X_{2}−Y_{2}, ⋯, X_{n}−Y_{n}) est régulière dans ℓ[\underline{X}, \underline{Y}], il résulte du “lemme de Wiebe” (par ex. [J4] 3.8.1.7) que la classe de dét (g_{ij}) dans l’anneau ℓ[\underline{X}, \underline{Y}]/(g_{i}(\underline{X}) − g_{i}(\underline{Y}))_{1≤i≤n} ne dépend pas de la décomposition choisie. D’autre part, pour tout s ∈ [n],

(X_{s} − Y_{s}) dét (g_{ij}) ∈ (g_{i}(\underline{X}) − g_{i}(\underline{Y}))_{1≤i≤n}

dans ℓ[\underline{X}, \underline{Y}].

Comme les éléments (X̄_{s} − Ȳ_{s})(s ∈ [n]) engendrent I_{R/ℓ} dans R ⊗_{ℓ} R, on en déduit que la classe

∇_{R}(\underline{g}; \underline{X}) := dét (g_{ij})^{−} ∈ R ⊗_{ℓ} R

est bien définie et appartient à ann_{R⊗_{ℓ}R}(I_{R/ℓ}). Comme ∇_{R}(\underline{g}; \underline{X}) est ℓ-multilinéaire alterné en \underline{g}, on en déduit une application ℓ-linéaire

Λ_{ℓ}^{n}(J) → ann_{R⊗_{ℓ}R}(I_{R/ℓ})
g_{1} ∧ ⋯ ∧ g_{n} ↦ ∇_{R}(\underline{g}; \underline{X}).

En fait, on peut montrer (par ex [J6] 3.12.6.38) qu’elle se factorise à travers une application R-linéaire

Λ_{R}^{n}(J/J^{2}) → ann_{R⊗_{ℓ}R}(I_{R/ℓ}).
ḡ_{1} ∧ ⋯ ∧ ḡ_{n} ↦ ∇_{R}(\underline{g}; \underline{X}).

Lorsque, comme dans (3.4), les X_{i} sont affectés de poids m_{i} ≥ 1 et J est gradué, il résulte donc des considérations précédentes que, pour toute suite (g_{1}, g_{2}, ⋯, g_{n}) d’éléments de J, on a

θ_{R/ℓ}(∇_{R}(\underline{g}; \underline{X})) : Hom_{ℓ}(R, ℓ) → H𝔐^{0}(R)

θ_{R/ℓ}^{gr}(∇_{R}(\underline{g}; \underline{X})) : D_{ℓ}^{gr}(R) → H𝔐^{0}(R) .

3.6. Plaçons-nous de nouveau dans la situation de (1.1), dont on rappelle brièvement les notations :

C = ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}], avec deg_{a}(X_{i}) = m_{i} ≥ 1 ∀i
f_{i} = ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} u_{iα}X^{α} (i ∈ [n], u_{iα} ∈ ℓ); d_{i} ≥ 1
B = ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) ,
δ = (d_{1} + d_{2} + ⋯ + d_{n}) − (m_{1} + m_{2} + ⋯ + m_{n}) .

Pour tout i ∈ [n], choisissons une décomposition

(3.6.1)  f_{i}(\underline{X}) − f_{i}(\underline{Y}) = ∑_{j=1}^{n}(X_{j} − Y_{j})f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})

dans C⊗_{ℓ}C = ℓ[\underline{X}, \underline{Y}] (muni de la Z-graduation produit tensoriel deg_{a}(X_{i}) = deg_{a}(Y_{i}) = m_{i}), avec les f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y}) homogènes :

deg_{a}(f_{ij}) = d_{i} − m_{j} .

Avec ces notations, il est clair que

∇_{B}(\underline{f}; \underline{X}) := dét (f_{ij})^{−} ∈ (B ⊗_{ℓ} B)_{δ}

pour la graduation produit tensoriel de B ⊗_{ℓ} B, de sorte que (3.4.3) θ_{B/ℓ}^{gr}(∇_{B}(\underline{f}; \underline{X})) peut être considéré comme un morphisme de B-modules Z-gradués

(3.6.2)  θ : D_{ℓ}^{gr}(B)(−δ) → H𝔐^{0}(B) ,

de composantes

θ_{ν} : B̌_{δ−ν} → H𝔐^{0}(B)_{ν} (ν ∈ Z) .

Etant donné une décomposition

f_{i} = ∑_{j=1}^{n} X_{j}g_{ij}

des f_{i} dans C, on rappelle (lemme de Wiebe) que

(3.6.3)  Δ := dét (g_{ij})^{−} ∈ B

ne dépend pas de la décomposition choisie. Par ailleurs, choisissant les g_{ij} homogènes de degré d_{i} − m_{j}, on voit que Δ ∈ B_{δ}. Par spécialisation Y_{i} ↦ 0 (i ∈ [n]) dans (3.6.1), on voit qu’on peut choisir g_{ij} = f_{ij}(\underline{X}, 0). Par suite, notant

\begin{matrix}π : B & → ℓ \\ X_{i} & ↦ 0 \end{matrix}

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R2 30

l’augmentation de ℓ-algèbres canonique, et posant

\begin{matrix}μ : B ⊗_{ℓ} B & → B \\ b_{1} ⊗ b_{2} & ↦ π(b_{2})b_{1} , \end{matrix}

on a

(3.6.4)  Δ = μ(∇_{B}(\underline{f}; \underline{X})) ∈ B_{δ} .

Décomposons dét (f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})) pour la (Z × Z)-graduation canonique de C ⊗_{ℓ} C :

dét (f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})) = ∑_{{p,q≥0 \atop p+q=δ}} h_{pq}(\underline{X}, \underline{Y}) (h_{pq} ∈ C_{p} ⊗_{ℓ} C_{q}) .

Ecrivant arbitrairement

h_{δ−ν,ν} = ∑_{s} x_{s} ⊗ y_{s} (x_{s} ∈ C_{δ−ν}, y_{s} ∈ C_{ν}) ,

on a, par définition,

(3.6.5)  θ_{ν} : B_{δ−ν}^{∨} → H𝔐^{0}(B)_{ν} .

u ↦ ∑_{s} u(x̄_{s})ȳ_{s}

En particulier, comme il est clair que

dét (f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})) − dét (f_{ij}(\underline{X}, 0)) ∈ ⨁_{p+q=δ_{q≥1}} C_{p} ⊗_{ℓ} C_{q} ,

dét (f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})) − dét (f_{ij}(0, \underline{Y})) ∈ ⨁_{p+q=δ_{p≥1}} C_{p} ⊗_{ℓ} C_{q},

on a h_{δ,0} = dét (f_{ij}(\underline{X}, 0)) ⊗ 1 et h_{0,δ} = 1 ⊗ dét (f_{ij}(0, \underline{Y})).

Si ε : ℓ → B_{0} est le morphisme (bijectif) d’anneaux canonique, dont on note ε^{∨} le ℓ-dual, il résulte alors de la comparaison de (3.6.4) et (3.6.5) que

(3.6.6)  \{ \begin{matrix}θ_{0} : B̌_{δ} & → H𝔐^{0}(B)_{0} \\ u & ↦ u(Δ) \\ θ_{δ} : B̌_{0} & → H𝔐^{0}(B)_{δ} . \\ aε^{∨} & ↦ aΔ(a ∈ ℓ) \end{matrix}

Proposition 3.6.7.— On utilise les notations de (1.3) et (1.4). En particulier, A :=

H𝔐^{0}(B)_{0} ⊂ ℓ. Alors :

(i) On a les égalités

\begin{matrix}τ̂_{0} = θ_{0} : B̌_{δ} → H𝔐^{0}(B)_{0} , \\ τ̂_{δ} = θ_{δ} : B̌_{0} → H𝔐^{0}(B)_{δ} . \end{matrix}

De plus, lorsque la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière dans C, on a, pour tout ν ∈ Z,

τ̂_{ν} = θ_{ν} : B̌_{δ−ν} → H𝔐^{0}(B)_{ν}.

(ii) Pour tout ν ∈ Z, on a

B_{δ−ν}. Im (τ̂_{ν} − θ_{ν}) = 0 dans B_{δ} ,

et

Im (τ̂_{ν} − θ_{ν}) ⊂ H_{A}^{0}(B)_{ν} .

Preuve : Afin de préciser la suite \underline{f} := (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) étudiée, nous allons utiliser les notations τ_{ν}(\underline{f}), τ̂_{ν}(\underline{f}) au lieu de τ_{ν}, τ̂_{ν}. En particulier, posant \underline{X} := (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}), nous aurons à considérer τ_{ν}(\underline{X}), τ̂_{ν}(\underline{X}). Donnons-nous une décomposition

f_{i} = ∑_{j=1}^{n} X_{j}g_{ij}

des f_{i} dans C, avec les g_{ij} homogènes (deg_{a}(g_{ij}) = d_{i} − m_{j}), de sorte que (3.6.3) Δ := dét (g_{ij})^{−} dans B. Posons

M := [g_{ij}] ∈ Mat_{n}(C) .

Le morphisme de C-modules Z-gradués

tM : ⨁_{i=1}^{n} C(−d_{i}) → ⨁_{i=1}^{n} C(−m_{i})

se prolonge en un morphisme de complexes

Kosz (f_{1}, ⋯, f_{n}; C) → Kosz (X_{1}, ⋯, X_{n}; C)

de la forme

(3.6.8)

0 → C(−Σ_{i}m_{i}) → ⋯ → ⨁_{i} C(−m_{i}) ⟶^{[X_{1},···,X_{n}]} C → 0
dét (g_{ij})↑  _{^{t}M}↑  ||
0 → C(−Σ_{i}d_{i}) → ⋯ → ⨁_{i} C(−d_{i}) ⟶^{[f_{1},···,f_{n}]} C → 0
deg −n  deg 0 .

Par fonctorialité de la transgression pour les morphismes de complexes, et restriction aux composantes homogènes de degré 0, on en déduit un diagramme commutatif

(3.6.9)  \begin{matrix}H^{0}(\underline{f}; H𝔐^{n}(C))_{− ∑_{i} d_{i}} & ⟶^{τ_{0}(\underline{f})} & H𝔐^{0}(B)_{0} \\ ^{dét (g_{ij})}↓ & & ↓ \\ H𝔐^{n}(C)_{−Σ_{i}m_{i}} & ⟶^{τ_{0}(\underline{X})} & ℓ . \end{matrix}

Identifiant H𝔐^{n}(C)_{−Σ_{i}m_{i}} et ℓ.(X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{−1}, rappelons que ([J4]2.6.4.6.)

\begin{matrix}τ_{0}(\underline{X}) : & ℓ.(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1} → ℓ \\ a(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1} ↦ a (a ∈ ℓ) \end{matrix}

et que, par définition de τ̂, pour tout ν ∈ Z, le diagramme

(3.6.10)  H^{0}(\underline{f}; H𝔐^{n}(C))_{−(Σ_{i}d_{i})+ν} ⟶^{τ_{ν}(\underline{f})} H𝔐^{0}(B)_{ν} ; ^{h_{ν}} ↓≀  _{τ̂_{ν}(f)} ; B̌_{δ−ν} ,

avec h_{ν} : x ↦ [y ↦ τ_{0}(\underline{X})(yx)], est commutatif. Montrons que τ̂_{0} = θ_{0}. Soit u ∈ B̌_{δ}. La bijectivité de h_{0} prouve l’existence d’un élément x ∈ H^{0}(\underline{f}; H𝔐^{n}(C))_{−Σ_{i}d_{i}} tel que

(3.6.11)  u(b) = τ_{0}(\underline{X})(bx) (∀b ∈ B_{δ}) .

On a alors la suite d’égalités

τ̂_{0}(\underline{f})(u) = τ_{0}(\underline{f})(x) (3.6.10)
= τ_{0}(\underline{X})(Δx) (3.6.9)
= u(Δ) (3.6.11),

d’où l’assertion annoncée, par comparaison avec (3.6.6). Montrons que τ̂_{δ} = θ_{δ}. Utilisant l’autodualité des complexes de Koszul, on déduit par dualité de (3.6.8) sur le modèle de ([J4] (3.8.1.3)) par exemple, un morphisme de complexes de C-modules Zgradués

w : Kosz (\underline{X}; C)(−δ) → Kosz (\underline{f}; C)

pour lequel w_{0} est la multiplication par dét (g_{ij}) et w_{−n} l’identité de C(−Σ_{i}d_{i}). Par fonctorialité des transgressions pour les morphismes de complexes, on en déduit un diagramme commutatif

\{x ∈ H𝔐^{n}(C)(−Σ_{i}d_{i})|𝔐x = 0\}  ⟶^{τ(\underline{X})(−δ)} H𝔐^{0}(C/𝔐)(−δ) = ℓ(−δ)
↓  ↓  ↓_{Δ}^{1}
\{x ∈ H𝔐^{n}(C)(−Σ_{i}d_{i})|(f_{1}, ⋯, f_{n})x = 0\} ⟶^{τ(\underline{f})} H𝔐^{0}(B)

induisant en degré δ un diagramme commutatif de ℓ-modules

(3.6.12)  \begin{matrix}H𝔐^{n}(C)_{−Σ_{i}m_{i}} & ⟶^{τ_{0}(\underline{X})} & C/𝔐 = ℓ \\ id|| & & ↓ & ↓_{Δ}^{1} \\ H𝔐^{n}(C)_{−Σ_{i}m_{i}} & ⟶^{τ_{δ}(\underline{f})} & H𝔐^{0}(B)_{δ} & . \end{matrix}

Soit a ∈ ℓ, et, comme plus haut ε : ℓ → B_{0} l’inclusion canonique. Rappelant que h_{δ} est, par construction, l’isomorphisme

\begin{matrix}h_{δ} : H𝔐^{n}(C)_{−Σ_{i}m_{i}} = ℓ(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1} & → B̌_{0} , \\ λ(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1} & ↦ λε̌ \end{matrix}

on a la suite d’égalités

τ̂_{δ}(\underline{f})(aε̌) = τ_{δ}(\underline{f})(a(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1}) (3.6.10)
= τ_{0}(\underline{X})(a(X_{1} ⋯ X_{n})^{−1}).Δ (3.6.12)
= aΔ ([J4]2.6.4.6).

D’où τ̂_{δ}(\underline{f}) = θ_{δ} par comparaison avec (3.6.6).

Soit maintenant ν ∈ Z. Si ν < 0, on a H𝔐^{0}(B)_{ν} = 0 ; si ν > δ, on a B̌_{δ−ν} = 0. Par suite, τ̂_{ν} = θ_{ν} = 0 dans ces deux cas. Supposons donc 0 ≤ ν ≤ δ. Pour tout b ∈ B_{δ−ν} et tout u ∈ B̌_{δ−ν}, l’égalité τ̂_{δ} = θ_{δ} déjà prouvée et la B-linéarité de τ̂ et θ montrent que

bτ̂_{ν}(u) = τ̂_{δ}(bu) = θ_{δ}(bu) = bθ_{ν}(u) ,

d’où la première partie de (ii) :

(3.6.13)  B_{δ−ν}.Im (τ̂_{ν} − θ_{ν}) = 0 dans H𝔐^{0}(B)_{δ} ⊂ B_{δ} .

Lorsque la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière, nous avons vu (1.5.1) que τ est un isomorphisme de C-modules Z-gradués

τ : H^{0}(\underline{f}; H𝔐^{n}(C))(−Σ_{i}d_{i}) ⟶^{∼} H𝔐^{0}(B) .

En particulier,

τ_{δ} : H𝔐^{n}(C)_{−Σ_{i}m_{i}} ⟶^{∼} H𝔐^{0}(B)_{δ} .

L’accouplement

\begin{matrix}C_{δ−ν} ⊗_{ℓ} H𝔐^{n}(C)_{ν−Σ_{i}d_{i}} & → H𝔐^{n}(C)_{−Σ_{i}m_{i}} \\ c ⊗ x & ↦ cx \end{matrix}

étant parfait, on en déduit par transport de structure à partir de τ que

{y ∈ B_{ν}|B_{δ−ν}y = 0} = {y ∈ H𝔐^{0}(B)_{ν}|B_{δ−ν}y = 0} = 0.

D’où la deuxième partie de (i) par comparaison avec (3.6.13). Supposons maintenant (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) arbitraire. Pour tout a ∈ A, les H_{i}(f_{1}, ⋯, f_{n}; C) (i ≠ 0) sont annulés par une puissance de a (lemme d’inertie : [J6] (3.12.1.2)), donc la suite (f_{1}/1, ⋯, f_{n}/1) de ℓ_{a}[X_{1}, ⋯, X_{n}] est régulière. Par suite (i), (τ̂_{ν})_{a} = (θ_{ν})_{a}. La fin de (ii) en résulte aussitôt.

L’intérêt de la proposition (3.6.7) provient surtout du corollaire suivant qui, appliqué à la situation générique, permet dans de nombreux cas d’expliciter alors toutes les formes d’inertie (cf.[J5] 3.11).

Corollaire 3.6.14.— Soient ℓ un anneau commutatif et C := ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] gradué par deg_{a}(X_{i}) = m_{i} ≥ 1(i ∈ [n]). Soit (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) une suite régulière d’éléments homogènes de C, avec deg_{a}(f_{i}) = d_{i} ≥ 1 (i ∈ [n]). On pose B = C/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) et δ = (d_{1} + ⋯ + d_{n}) − (m_{1} + ⋯ + m_{n}).

Alors :

(i) D_{ℓ}^{gr}(B)(−δ)_{ν} := B̌_{δ−ν} = 0 lorsque ν < 0 ou ν > δ, de sorte que

D_{ℓ}^{gr}(B) = Hom_{ℓ}(B, ℓ) ,

(ii) L’application B-linéaire

θ_{B/ℓ}(∇_{B}(\underline{f}; \underline{X})) = θ_{B/ℓ}^{gr}(∇_{B}(\underline{f}; \underline{X})) : Hom_{ℓ}(B, ℓ) → H𝔐^{0}B

est un isomorphisme de B-modules.

Preuve : Par (1.5.1), la transgression τ̂ est bijective ; on en déduit (i) en remarquant que H𝔐^{0}(B)_{ν} = 0 si ν < 0 et B̌_{δ−ν} = 0 si ν > δ. Par ailleurs (3.6.7 (i)), on a θ := θ_{B/ℓ}^{gr}(∇_{B}(\underline{f}; \underline{X})) = τ̂, d’où aussitôt (ii).

3.6.15. Soient ℓ un anneau commutatif, J un idéal de C := ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] et R := C/J. Toute application R-linéaire u : H𝔐^{0}(R) → R a son image contenue dans H𝔐^{0}(R). Par suite, par application du ∂-foncteur Ext_{R}^{∗}(?, R) à la suite exacte canonique 0 → H𝔐^{0}(R) → R → R/H𝔐^{0}(R) → 0, on obtient une suite exacte de R-modules

(3.6.16) \begin{matrix}0 → (0 : H𝔐^{0}(R))_{R} → R & ⟶^{h} End_{R}(H𝔐^{0}(R)) → Ext_{R}^{1}(R/H𝔐^{0}(R), R) → 0, \\ r & ↦ r_{H𝔐^{0}(R)} \end{matrix}

dans laquelle h est le morphisme d’anneaux canonique.

La proposition suivante permet notamment de préciser (3.6.16) dans la situation intersection complète (3.6.14).

Proposition 3.6.17.— Sous les hypothèses de (3.6.14), les assertions suivantes sont vérifiées.

(i) Notons φ : ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}] → ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}] le morphisme de ℓ-algèbre défini par φ(X_{i}) = X_{i}^{m_{i}}(1 ≤ i ≤ n). Les polynômes φ(f_{1}), ⋯, φ(f_{n}) sont homogènes de degrés respectifs d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n} pour la graduation ordinaire (deg(X_{i}) = 1) et l’élément

R := Res (φ(f_{1}), φ(f_{2}), ⋯, φ(f_{n})) ∈ ℓ

appartient à A := H𝔐^{0}(B)_{0} et ne divise pas zéro dans ℓ.

(ii) Les idéaux suivants de B sont égaux

H_{(R)}^{0}(B), H_{A}^{0}(B) , H_{H𝔐^{0}(B)}^{0}(B) ,

\begin{aligned}(0 : A)_{B} : & = \{b ∈ B|Ab = 0\} , \\ (0 : R)_{B} : & = \{b ∈ B|Rb = 0\} , \\ (0 : H𝔐^{0}(B))_{B} : & = \{b ∈ B|H𝔐^{0}(B)b = 0\} , \end{aligned}

= Ker (h : B → End_{B}(H𝔐^{0}B)) ,

où h : b ↦ b_{H𝔐^{0}(B)}(b ∈ B).

(iii) Pour tout i ∈ N et tout ν ∈ Z, on a un isomorphisme canonique de ℓ-modules

H𝔐^{i}(B)_{ν} ≃ Ext_{ℓ}^{i}(B_{δ−ν}, ℓ).

(iv) Soit 0 ≤ ν ≤ δ un entier. Supposons que H𝔐^{i}(B)_{δ−ν} = 0 pour tout entier i ≥ 1. Alors le ℓ-module B_{ν} est réflexif et l’application ℓ-linéaire

B_{ν} → Hom_{ℓ}(H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}, H𝔐^{0}(B)_{δ})

x ↦ (y ↦ xy) (produit dans B)

est bijective.

(v) L’anneau End_{B}(H𝔐^{0}B) est commutatif et l’application ℓ-linéaire

End_{B}(H𝔐^{0}B) → Hom_{ℓ}(A, B)

u ↦ [a ↦ u(a)]

est injective.

(vi) Les B-modules End_{B}(H𝔐^{0}B), Ext_{B}^{1}(B/H𝔐^{0}B, B) sont canoniquement Z-gradués, de sorte que la suite exacte (3.6.16)

0 → (0 : H𝔐^{0}B)_{B} → B ⟶^{h} End_{B}(H𝔐^{0}B) → Ext_{B}^{1}(B/H𝔐^{0}B, B) → 0

soit une suite exacte de B-modules Z-gradués.

Soit 0 ≤ ν ≤ δ un entier. On suppose que H𝔐^{i}(B)_{δ−ν} = 0 pour tout entier i ≥ 1. Alors l’application ℓ-linéaire

h_{ν} : B_{ν} → End_{B}(H𝔐^{0}B)_{ν}

est surjective. Autrement dit : Ext_{B}^{1}(B/H𝔐^{0}(B), B)_{ν} = 0. En particulier, si (H𝔐^{i}B)_{≥0} = 0 pour tout i ≥ 1, le morphisme d’anneaux h est surjectif, autrement dit

Ext_{B}^{1}(B/H𝔐^{0}(B), B) = 0 .

Preuve : Montrons (i). Posons ici

C^{♭} := ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] avec deg(X_{i}) = 1 .

Le morphisme de ℓ-algèbres φ : C → C^{♭} est un morphisme de ℓ-algèbres Z-graduées, et fait de C^{♭} un C-module libre de base les monômes X^{α} avec 0 ≤ α_{i} ≤ m_{i} − 1(i ∈ [n]). En particulier, φ identifie C à un C-module facteur direct du C-module (par φ) C^{♭}, de sorte que, posant B^{♭} := B/(φ(f_{1}), ⋯, φ(f_{n})), l’application φ induit par passage au quotient une injection φ̄ : B → B^{♭}. Posons A^{♭} := H𝔐^{0}(B^{♭})_{0}. Si a ∈ A^{♭}, il existe un entier N ≥ 1 tel que X_{i}^{m_{i}N}a = 0 (i ∈ [n]) dans B^{♭}, soit φ̄(X_{i}^{N}a) = 0 (i ∈ [n]) ; l’injectivité de φ̄ montre alors que X_{i}^{N}a = 0 (i ∈ [n]) dans B. On a ainsi prouvé que A^{♭} ⊂ A. En particulier R ∈ A^{♭} ⊂ A. Par ailleurs la platitude de φ montre que la suite (φ(f_{1}), φ(f_{2}), ⋯, φ(f_{n})) est régulière dans C^{♭}, donc ([J6] 3.12.4.2 (i)) R := Res (φ(f_{1}), ⋯, φ(f_{n})) ne divise pas zéro dans ℓ. D’où l’assertion. Elle nous servira surtout dans la suite sous la forme

(3.6.18)  H_{A}^{0}(H𝔐^{0}B) = H_{(R)}^{0}(H𝔐^{0}B) = 0 ,

qui résulte de ce que (1.5.1) τ^{−1} identifie H𝔐^{0}B au sous-ℓ-module H^{0}(\underline{f}; H𝔐^{n}C) du ℓ-module libre H𝔐^{n}(C). Pour prouver (ii), il suffit, du fait des inclusions immédiates

H_{H𝔐^{0}(B)}^{0}(B) ⊂ H_{A}^{0}(B) ⊂ H_{(R)}^{0}(B)
∪  ∪  ∪
(0 : H𝔐^{0}(B))_{B} ⊂ (0 : A)_{B} ⊂ (0 : R)_{B}

de montrer que H_{(R)}^{0}(B) ⊂ (0 : H𝔐^{0}(B))_{B}. Mais

H𝔐^{0}(B).H_{(R)}^{0}(B) ⊂ H𝔐^{0}(B) ∩ H_{(R)}^{0}(B) = 0

d’après (3.6.18), d’où l’assertion.

Remarque 3.6.19 : Pour ν > δ, on a B_{ν} ⟶^{∼} Γ(X, O_{X}(ν)) et la structure de Γ(X, O_{X})- module de Γ(X, O_{X}(ν)) montre que AB_{ν} = 0. Par suite, B_{>δ} ⊂ (0 : A)_{B}. Cependant, il n’y a pas égalité en général, ainsi que le montre l’exemple suivant :

ℓ = Z[U, V] (U, V indéterminées)

B = Z[U, V, X, Y]/(UX^{2}, V Y^{3}) (deg(X) = deg(Y) = 1) .

Dans ce cas on a A = (UV), δ = 3, et AX̄^{2} = AȲ^{3} = 0, donc H_{A}^{0}(B)_{ν} ≠ 0 pour ν = 2, 3.

Utilisant l’autodualité du complexe Kosz (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}; C), l’assertion (iii) se prouve sur le modèle de ([J4] 2.7.11), où seule est utilisée l’acyclicité du complexe de Koszul. Montrons (iv). L’acyclicité de Kosz (\underline{f}; C) montre que le ℓ-module B_{ν} admet une résolution libre finie, donc donne lieu à une suite spectrale de bidualité

Ext_{ℓ}^{p} (Ext_{ℓ}^{−q}(B_{ν}, ℓ), ℓ) ⟹ E^{p+q}

avec E^{0} = B_{ν} et E^{s} = 0 pour s ≠ 0, et dont la “transgression” E^{0} → E_{2}^{00} est le morphisme canonique B_{ν} → B_{ν}^{∨∨}. D’après (iii), l’hypothèse signifie que Ext_{ℓ}^{p}(B_{ν}, ℓ) = 0 si p ≠ 0, d’où E_{2}^{pq} = 0 si q ≠ 0 ; la première partie de l’assertion en résulte aussitôt. Une fois identifiés ℓ et H𝔐^{0}(B)_{δ} au moyen de τ̂_{δ}, le morphisme de bidualité B_{ν} → B_{ν}^{∨∨} s’identifie au morphisme de ℓ-modules

\begin{matrix}λ : & B_{ν} → Hom_{ℓ}(Hom_{ℓ}(B_{ν}, (H𝔐^{0}B)_{δ}), H𝔐^{0}(B)_{δ}) . \\ b ↦ [u ↦ u(b)] \end{matrix}

Par ailleurs, notant α, β les morphismes de ℓ-modules canoniques

\begin{matrix}α : H𝔐^{0}(B)_{δ−ν} & → Hom_{ℓ}(B_{ν}, (H𝔐^{0}B)_{δ}) \\ x & ↦ [y ↦ xy] \\ β : B_{ν} & → Hom_{ℓ}(H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}, (H𝔐^{0}B)_{δ}), \\ x & ↦ [y ↦ xy] \end{matrix}

nous allons vérifier l’égalité

(3.6.20)  β = Hom_{ℓ}(α, id_{H𝔐^{0}(B)_{δ}}) ∘ λ .

De toutes manières, l’application α est bijective (1.5.1) et nous venons de voir que, sous les hypothèses de (iv), il en est de même pour λ. D’où la bijectivité de β dans ce cas, comme annoncé. Vérifions (3.6.20). Pour tout b ∈ B_{ν} et tout x ∈ H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}, la valeur en x de Hom_{ℓ}(α, id_{H𝔐^{0}(B)_{δ}}) ∘ λ(b) est, par définition, λ(b)[α(x)], autrement dit l’évaluation en b de α(x) : y ↦ xy, soit bx := β(b)(x), d’où l’assertion. Montrons (v). Plus précisément, nous allons montrer que l’application

\begin{matrix}End_{B}(H𝔐^{0}B) & → B \\ u & ↦ u(R) \end{matrix}

est injective. En effet, soit u ∈ End_{B}(H𝔐^{0}B) telle que u(R) = 0. La B-linéarité de u et le fait que R ∈ H𝔐^{0}(B) impliquent pour tout x ∈ H𝔐^{0}B les égalités

Ru(x) = u(Rx) = xu(R) = 0 ,

donc u(x) ∈ H𝔐^{0}(B) ∩ H_{(R)}^{0}(B) = 0 (3.6.18). Par suite, u = 0, comme annoncé. Soient maintenant u, v ∈ End_{B}(H𝔐^{0}B) et montrons que u ∘ v = v ∘ u. On a déjà constaté que

\begin{matrix}Ru(x) = u(R)x & (x ∈ H𝔐^{0}B) \\ Rv(x) = v(R)x & (x ∈ H𝔐^{0}B). \end{matrix}

On en déduit, pour tout x ∈ H𝔐^{0}B la suite d’égalités

R^{2}(u ∘ v)(x) = R × [Ru(v(x))]
= Ru(R).v(x)
= u(R)[Rv(x)]
= u(R)v(R)x

d’où aussitôt, par commutativité de B,

R^{2}(u ∘ v)(x) = u(R)v(R)x = v(R)u(R)x = R^{2}(v ∘ u)(x) .

Comme R ne divise pas zéro dans H𝔐^{0}(B) (3.6.18), on en conclut bien que (u ∘ v)(x) = (v∘u)(x), d’où l’assertion. Montrons (vi). L’assertion sur les graduations résulte aussitôt de ce que H𝔐^{0}(B) = ⨁_{0≤ν≤δ} H𝔐^{0}(B)_{ν}. L’entier ν étant comme dans les hypothèses de (vi), soit u ∈ Hom_{B}(H𝔐^{0}B, H𝔐^{0}B)_{ν}. Les égalités

(3.6.21)  Ru(x) = u(R)x (x ∈ H𝔐^{0}(B)) ,

où u(R) ∈ H𝔐^{0}(B)_{ν}, montrent que la multiplication par u(R) :

H𝔐^{0}(B)_{δ−ν} → H𝔐^{0}(B)_{δ}

est divisible par R dans Hom_{ℓ}(H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}, H𝔐^{0}(B)_{δ}). D’après (iv), l’hypothèse faite implique que l’application ℓ-linéaire

\begin{matrix}β : B_{ν} & → Hom_{ℓ}(H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}, H𝔐^{0}(B)_{δ}) \\ x & ↦ [y ↦ xy] \end{matrix}

est bijective. On en déduit l’existence d’un élément b de B_{ν} tel que u(R) = Rb. Comparant avec (3.6.21), cela fournit l’égalité

R(u(x) − bx) = 0 (x ∈ H𝔐^{0}B) ,

d’où u(x) = bx (x ∈ H𝔐^{0}B), puisque R ne divise pas zéro dans H𝔐^{0}(B) (3.6.18). Compte tenu de (3.6.16), le reste de l’assertion est immédiat.

3.6.22. Afin de tirer quelques corollaires de (3.6.17), nous allons d’abord rappeler, en les généralisant, quelques résultats de [J3].

Supposons donnés, comme au début de (1.1), un anneau commutatif ℓ, deux suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}) d’entiers ≥ 1, et considérons la situation générique correspondante

\begin{aligned}A : & = ℓ[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}] , \\ F_{i} : & = ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} U_{iα}X^{α} ∈ A[X_{1}, ⋯, X_{n}]_{d_{i}} . \end{aligned}

Posant \underline{U} := (U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}), toute forme d’inertie (par rapport à 𝔐), soit a(\underline{U}) ∈ A[\underline{X}], pour la suite de polynômes génériques (F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n}) sera dite générique. Si maintenant (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est une suite de polynômes de ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] de la forme

f_{i} = ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} u_{iα}X^{α} ∈ ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]_{d_{i}} ,

toute forme d’inertie générique a(\underline{U}) fournit par spécialisation U_{iα} ↦ u_{iα} une forme d’inertie (par rapport à 𝔐), soit a(\underline{u}) ∈ ℓ[\underline{X}], pour (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) ⊂ ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]. En outre, pour tout (j, β) avec j ∈ [n] et deg_{a}(X^{β}) = d_{j}, on peut donner un sens aux dérivées partielles \frac{∂a}{∂U_{jβ}} (\underline{u}) ∈ ℓ[\underline{X}].

Rappelons aussi qu’un entier d ≥ 1 est dit très ample pour la suite (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) ([J3] 6.4.4) si, pour tout entier h ≥ 0, il existe un entier s ≥ 0 tel que

Γ_{hd} + sΓ_{d} ⊂ (s + h)Γ_{d} ,

où, pour tout entier t ≥ 0, on a posé

Γ_{t} := {α ∈ N^{n}| ∑_{i=1}^{n} m_{i}α_{i} = t}

et, ici,

qΓ := Γ + Γ + ⋯ + Γ (q fois ) pour q ∈ N .

Proposition 3.6.23.— Dans la situation préliminaire de (1.1) : f_{i} = ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} u_{iα}X^{α} ∈ ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]_{d_{i}}, soit a ∈ A une forme d’inertie générique de degré 0 (par rapport à X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}). On suppose en outre donné un couple (j, β) (j ∈ [n], deg_{a}(X^{β}) = d_{j}) tel que

a) m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise d_{j},

b) (∂a/∂U_{jβ})(\underline{u}) soit inversible dans ℓ.

Sous ces hypothèses, les assertions suivantes sont vérifiées.

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R2 40

(i) Posant X := Proj (B), la projection canonique X → spec (ℓ) est un isomorphisme lorsque

- ou bien β_{i} > 0 pour tout i ∈ [n],

- ou bien l’entier d_{j} est très ample pour (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}). En particulier H𝔐^{i}(B) = 0 pour tout i ≥ 2 dans chacun de ces cas.

(ii) On a H𝔐^{1}(B)_{ν} = 0 lorsque - ou bien β_{i} > 0 ∀i ∈ [n], et ν ≥ 0.

- ou bien l’entier d_{j} est très ample pour (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et ν ∈ ∑_{{i|β_{i}>0}} Nm_{i}. (iii) Supposons la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) régulière. Alors l’une quelconque des conditions

de (ii) implique que le ℓ-module H𝔐^{0}(B)_{ν} est stablement libre de type fini.

Preuve : Se démontre comme les assertions génériques correspondantes ([J3] 6.4.5 à 6.4.8).

Corollaire 3.6.24.— Sous les hypothèses préliminaires de (1.1), supposons que (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) soit une suite régulière de ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]. Supposons en outre donnés une forme d’inertie générique de degré 0, soit a(\underline{U}) ∈ A, et un couple (j, β)(j ∈ [n], deg_{a}(X^{β}) = d_{j}), ces données étant assujetties aux conditions suivantes.

1) m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise d_{j},

2) on a :

- ou bien β_{i} > 0 pour tout i ∈ [n]

- ou bien l’entier d_{j} est très ample pour (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et inf(m_{i}) = 1_{{i|β_{i}>0}}

3) (∂a/∂U_{jβ})(\underline{u}) est inversible dans ℓ. Dans ces conditions, les assertions suivantes sont vérifiées.

(i) Les ℓ-modules H𝔐^{0}B et B_{≤δ} sont stablement libres de type fini, et, pour tout 0 ≤ ν ≤ δ, l’accouplement

\begin{matrix}B_{ν} ⊗_{ℓ} H𝔐^{0}(B)_{δ−ν} & → H𝔐^{0}(B)_{δ} →_{∼}^{τ̂_{δ}^{−1}} ℓ \\ x ⊗ y & ↦ xy \end{matrix}

est une dualité parfaite. (ii) Le morphisme de ℓ-algèbres canonique h : B → End_{B}(H𝔐^{0}B) (cf. 3.6.17) est

surjectif, ainsi que θ_{B/ℓ}^{gr} : ann_{B⊗_{ℓ}B}(I_{B/ℓ}) → Hom_{B}^{gr}(D_{ℓ}^{gr}(B), B).

(iii) Les applications B-linéaires

\begin{matrix}λ : B & → ann_{B⊗_{ℓ}B}(I_{B/ℓ}) \\ 1 & ↦ ∇(\underline{f}; \underline{X}) \\ et μ : B & → Hom_{B}^{gr}(D_{ℓ}^{gr}(B), B) \\ 1 & ↦ θ_{B/ℓ}^{gr}(∇(\underline{f}; \underline{X})) \end{matrix}

sont telles que Ker (λ) = Ker (μ) = Ker (h) = H_{A}^{0}(B) = B_{>δ} [voir 3.6.17 (ii) pour d’autres expressions].

Preuve: D’après (3.6.23), les hypothèses faites impliquent que H𝔐^{i}(B) = 0 lorsque i ≥ 1, et que le ℓ-module H𝔐^{0}(B) est stablement libre de type fini. Par comparaison avec (3.6.17 (iv)), on en déduit que, pour tout 0 ≤ ν ≤ δ, le ℓ-module B_{ν} est réflexif, de dual le ℓ-module localement libre H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}, d’où aussitôt (i). De même, la première partie de (ii) résulte de (3.6.17 (vi)). La conjonction de (3.4.3) et (3.6.14 (i)) permet d’identifier Hom_{B}^{gr}(D_{ℓ}^{gr}(B), B) à Hom_{B}(D_{ℓ}^{gr}(B), H𝔐^{0}B) ; modulo cette identification, l’isomorphisme de B-modules τ̂ = θ : D_{ℓ}^{gr}(B) ⟶^{∼} H𝔐^{0}B (3.6.14 (ii)) fournit un isomorphisme

ω = “Hom_{B}(τ̂, id)′′ : Hom_{B}(H𝔐^{0}B, H𝔐^{0}B) ⟶^{∼} Hom_{B}^{gr}(D_{ℓ}^{gr}(B), B)

rendant le diagramme

B ⟶^{λ} ann_{B⊗_{ℓ}B}(I_{B/ℓ}) ⟶^{θ_{B/ℓ}^{gr}} Hom_{B}^{gr}(D_{ℓ}^{gr}(B), B)
||  ^{ω}↑≀
B  ⟶^{h}  Hom_{B}(H𝔐^{0}B, H𝔐^{0}B)

commutatif : on a les égalités

(3.6.25)  ω ∘ h = μ = θ_{B/ℓ}^{gr} ∘ λ .

La comparaison des membres extrêmes de (3.6.25) et la surjectivité de h impliquent celle de θ_{B/ℓ}^{gr}, d’où (ii). Montrons (iii). Comme B_{≤δ} est un ℓ-module stablement libre par (i) et H_{A}^{0}(ℓ) = 0 (3.6.17 (i)), on voit tout d’abord que H_{A}^{0}(B) = B_{>δ}. De (3.4.1) résulte que B_{>δ}∇(\underline{f}; \underline{X}) = 0 dans le B-module ann_{B⊗_{ℓ}B}(I_{B/ℓ}), donc que H_{A}^{0}(B) = B_{>δ} ⊂ Ker (λ). Par ailleurs, il résulte immédiatement de (3.6.25) que Ker (λ) ⊂ Ker (μ) = Ker (h) = H_{A}^{0}(B), la dernière égalité provenant de (3.6.17 (ii)). La comparaison des inclusions ainsi obtenues entraîne aussitôt (iii).

Remarque 3.6.26 : Sans supposer la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) régulière, on peut considérer les flèches λ : B → ann_{B⊗_{ℓ}B}(I_{B/ℓ}) (1 ↦ ∇(\underline{f}; \underline{X})) et μ := θ_{B/ℓ}^{gr} ∘ λ. Au moins lorsque l’anneau ℓ est noethérien, elles sont compatibles avec la localisation de Zariski, et ce sont des isomorphismes en dehors de V (A). En effet on sait (lemme d’inertie) que, en dehors de V (A), la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière, que B = H𝔐^{0}B et que B est un ℓ-module localement libre. En dehors de V (A), la bijectivité de h, donc de μ, est immédiate (B = H𝔐^{0}B), et celle de λ résulte, par exemple, de ([J6] 3.12.6.42).

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R2 42

4. Autour des formules de Macaulay

4.1 Commençons par quelques rappels et généralités sur les équations linéaires diophantiennes, qui nous serviront dans la suite (4.2.9).

Soient n un entier ≥ 1 et (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) une suite indexée par [n] d’entiers ≥ 1. Avec ces notations, on a la proposition suivante. Proposition 4.1.1.— (Brauer)

Tout ν ∈ Zm_{1} + Zm_{2} + ⋯ + Zm_{n} (i.e. divisible par pgcd (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n})) peut s’écrire sous la forme

ν = α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n} (α_{i} ∈ Z)

avec, pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1,

(∗)  0 ≤ α_{i}m_{i} ≤ ppcm(m_{i}, pgcd(m_{i+1}, m_{i+2}, ⋯, m_{n})) − m_{i}.

En particulier, tout ν ∈ Z qui est divisible par pgcd (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et tel que

(∗∗)  ν ≥ ∑_{i=1}^{n−1}[ppcm(m_{i}, pgcd(m_{i+1}, m_{i+2}, ⋯, m_{n})) − m_{i}]

appartient au monoïde Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n} ⊂ N.

Preuve : Posons, pour tout i ∈ [n],

ξ_{i} = pgcd(m_{i}, m_{i+1}, ⋯, m_{n}) = pgcd(m_{j}|j ≥ i)

et, par convention,

ξ_{n+1} = pgcd(∅) = 1.

Alors, pour tout 1 ≤ i ≤ n, l’égalité

(4.1.2)  ppcm(m_{i}, pgcd(m_{i+1}, ⋯, m_{n}))pgcd(m_{i}, pgcd(m_{i+1}, ⋯, m_{n}))
= m_{i}pgcd(m_{i+1}, ⋯ m_{n})

permet de reformuler (∗) et (∗∗) respectivement sous la forme

(∗)′ 0 ≤ α_{i} ≤ \frac{ξ_{i+1}}{ξ_{i}} − 1 (i ∈ [n − 1])

(∗∗)′  ν ≥ ∑_{i=1}^{n}[ppcm(m_{i}, ξ_{i+1}) − m_{i}].

Nous allons montrer qu’on peut réaliser (∗) par récurrence sur l’entier n ≥ 1, le cas n = 1 étant immédiat. Comme ν est divisible par pgcd(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) = pgcd(m_{1}, ξ_{2}), on peut écrire ν sous la forme

ν = αm_{1} + βξ_{2} (α, β ∈ Z).

L’égalité (4.1.2) dans N :

ppcm(m_{1}, ξ_{2}) = \frac{m_{1}ξ_{2}}{ξ_{1}}

permet, pour tout x ∈ Z, d’écrire

(4.1.3)  ν = (α + x\frac{ξ_{2}}{ξ_{1}} )m_{1} + (β − x\frac{ppcm(m_{1}, ξ_{2})}{ξ_{2}})ξ_{2}

Par division euclidienne de α par ξ_{2}/ξ_{1}, on peut choisir x tel que

0 ≤ α + x\frac{ξ_{2}}{ξ_{1}} ≤ \frac{ξ_{2}}{ξ_{1}} − 1.

Posant alors α_{1} := α + x(ξ_{2}/ξ_{1}), l’égalité (4.1.3) prend la forme

ν = α_{1}m_{1} + ν_{1},

avec 0 ≤ α_{1}m_{1} ≤ ppcm(m_{1}, ξ_{2}) − m_{1} et ν_{1} ∈ Zm_{2} + ⋯ + Zm_{n}. L’hypothèse de récurrence appliquée à ν_{1} et aux n − 1 entiers (m_{2}, m_{3}, ⋯, m_{n}) permet aussitôt de conclure. On observera d’ailleurs que cette démonstration fournit sans peine un algorithme de décomposition de ν sous la forme (∗). Une fois prouvé (∗), la deuxième partie de l’assertion est immédiate, puisqu’alors

α_{n}m_{n} = ν − ∑_{i=1}^{n−1}(α_{i}m_{i}) ≥ 0

par hypothèse.

4.1.4 Le cas n = 2, d’abord considéré par Frobenius, est particulièrement intéressant. En effet, dans ce cas, ppcm(m_{1}, m_{2}) est le plus petit entier N divisible par pgcd(m_{1}, m_{2}) tel que, pour ν ∈ Zm_{1} + Zm_{2}, l’inégalité ν > N permette d’écrire

(4.1.5)  ν = α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2}, avec α_{1}, α_{2} ≥ 1.

Montrons-le. On peut supposer : pgcd(m_{1}, m_{2}) = 1. Si ν ∈ Zm_{1} + Zm_{2} est tel que ν > m_{1}m_{2}, il résulte de (4.1.1) appliqué à l’inégalité ν − m_{1} > m_{1}m_{2} − m_{1} que l’on peut écrire

ν − m_{1} = β_{1}m_{1} + β_{2}m_{2},

avec 0 ≤ β_{1}m_{1} ≤ m_{1}m_{2} − m_{1} et β_{2} ∈ Z. D’où

β_{2}m_{2} ≥ ν − m_{1} − (m_{1}m_{2} − m_{1}) = ν − m_{1}m_{2} > 0,

qui montre que β_{2} ≥ 1. D’où, posant α_{1} := β_{1} + 1, α_{2} := β_{2} une décomposition (4.1.5). On aura terminé si on prouve qu’on ne peut avoir d’égalité

m_{1}m_{2} = α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} avec α_{1}, α_{2} ≥ 1.

En effet, comme m_{2} est premier à m_{1}, on en déduirait que m_{2} divise m_{2} − α_{1} < m_{2} . . ..

4.2 Dans cette partie, on se donne un entier n ≥ 1, deux suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}) d’entiers ≥ 1, et on suppose que

(4.2.1)  m_{i} divise d_{i}  (i ∈ [n]).

Etant donné un anneau commutatif ℓ ≠ 0 et des indéterminées X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}, on gradue la ℓ-algèbre C := ℓ[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}] en posant deg_{a}(X_{i}) = m_{i} (i ∈ [n]).

Un monôme X^{α} := X_{1}^{α_{1}}X_{2}^{α_{2}} ⋯ X_{n}^{α_{n}} (α_{i} ≥ 0) est dit \underline{d} − repu (ou simplement repu si aucune confusion n’est possible) si l’un des entiers α_{i} est supérieur ou égal à d_{i}/m_{i}. Dans ce cas, on appelle \underline{d}− index de X^{α} (ou simplement index de X^{α}) l’entier noté

\underline{d} − index(X^{α}) ou i(α) = inf \{i ∈ [n]|α_{i} ≥ \frac{d_{i}}{m_{i}} \}.

Un monôme X^{α} est dit \underline{d} − dodu (ou simplement dodu) s’il existe deux entiers i ∈ [n] au moins tel que α_{i} ≥ d_{i}/m_{i}.

Dans C, la suite (X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, X_{2}^{d_{2}/m_{2}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) est une suite régulière de polynômes homogènes, avec deg_{a}(X_{i}^{d_{i}/m_{i}}) = d_{i} (i ∈ [n]).

Proposition 4.2.2.— Soit (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) une suite régulière de C, avec f_{i} ∈ C_{d_{i}}(i ∈ [n]). On pose

B := C/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})

et, comme d’habitude, 𝔐 = (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}) et δ = d_{1} + ⋯ + d_{n} − (m_{1} + ⋯ + m_{n}).

1) Soit ν ∈ Z un entier. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) H𝔐^{0}(B)_{ν} = 0.

(ii) B_{ν}^{∨} = 0 (dual comme ℓ-module).

(iii) L’entier ν ne peut-être décomposé sous la forme

ν = ∑_{i=1}^{n} α_{i}m_{i} (α_{i} ∈ Z)

avec 0 ≤ α_{i} ≤ \frac{d_{i}}{m_{i}} − 1 pour tout i ∈ [n] (autrement dit, avec la terminologie précédente, tout monôme X^{α}(α ∈ N^{n}) avec deg_{a}(X^{α}) = ν est \underline{d} - repu).

Un tel entier ν sera appelé exempt d’inertie (pour la situation envisagée).

2) Soit ν ∈ Z. Si ν < 0 ou ν > δ, alors ν est exempt d’inertie. Pour que ν ∈ Z soit exempt d’inertie, il faut et il suffit que δ − ν soit exempt d’inertie.

3) Si l’élément unité appartient à A := H𝔐^{0}(B)_{0}, un entier ν ∈ Z est exempt d’inertie si et seulement si B_{ν} = 0.

Preuve : Posons

D := ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}})

de sorte que, pour tout ν ∈ Z, le ℓ - module D_{ν} est libre de base les X^{α} non \underline{d} - repus et tel que deg_{a}(X^{α}) = ν. Un calcul direct de séries de Poincaré ou, si l’on préfère, l’isomorphisme (1.5.1)

τ̂_{ν} : Ď_{δ−ν} →^{∼} H𝔐^{0}(D)_{ν} = D_{ν}

montre que, pour tout ν ∈ Z,

(4.2.3)  dim_{ℓ}(D_{ν}) = dim_{ℓ}(D_{δ−ν}).

Par ailleurs, l’acyclicité des complexes de Koszul

K^{•} := Kosz (f_{1}, ⋯, f_{n}; C) et L^{•} := Kosz (X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}; C)

montre que, pour tout ν ∈ Z, on a l’égalité entre caractéristiques d’Euler - Poincaré

(4.2.4)  χ(K_{ν}^{•}) = χ(L_{ν}^{•}) = dim_{ℓ}(D_{ν})

Nous allons montrer simultanément 1) et la deuxième partie de 2). Soit ν ∈ Z. Comme le ℓ− module B_{ν} est de type fini, on a B_{ν}^{∨} = 0 si et seulement si ann_{ℓ}(B_{ν}) ne divise pas zéro dans ℓ [Stokes : Some dual homological results for modules over a commutative ring, J. of pure and applied algebra 65 (1990), th. 2.1]. Comme B_{ν} admet une résolution finie par des ℓ− modules libres de type fini, un théorème de Vasconcelos (par exemple [J6] 3.12.3.21) montre que ann_{ℓ}(B_{ν}) ne divise pas zéro dans ℓ si et seulement si χ(K_{ν}^{•}) = 0.

Utilisant (4.2.4), on en déduit l’équivalence de (ii) et (iii) dans 1). La condition (iii) pour ν étant la même que pour δ − ν (4.2.3), on voit aussi que (ii) et (iii) équivalent à : B_{δ−ν}^{∨} = 0, qui n’est autre que (i), compte tenu de l’isomorphisme (1.5.1) τ̂_{ν} : B_{δ−ν}^{∨} →^{∼}H𝔐^{0}(B)_{ν}. D’où 1) et, compte tenu de (4.2.3), la deuxième partie de 2). Par ailleurs, il est clair que dim_{ℓ}D_{ν} = dim_{ℓ}D_{δ−ν} = 0 (ν < 0), d’où le reste de 2). Enfin, lorsque A = ℓ, l’égalité B = H𝔐^{0}(B) implique aussitôt 3).

4.2.5 Dans la situation préliminaire de (4.2), notons, pour tout ν ∈ N par

aMon(n ; ν) (resp. Rep(\underline{d} ; ν), resp. Dod(\underline{d} ; ν))

l’ensemble des monômes X^{α}(α ∈ N^{n}) tel que deg_{a}(X^{α}) = ν et par ailleurs arbitraires (resp. \underline{d} − repus, resp. \underline{d} − dodus).

Soient maintenant f_{i} ∈ ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]_{d_{i}} (i ∈ [n]) des polynômes. On définit des matrices carrées notées

D (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) : Rep (\underline{d} ; ν) × Rep(\underline{d} ; ν) → ℓ
Δ (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) : Dod (\underline{d} ; ν) × Dod(\underline{d} ; ν) → ℓ

(ou, plus simplement, D(\underline{f} ; ν) et Δ(\underline{f} ; ν)) comme suit.

Pour X^{α} et X^{β} ∈ Rep (\underline{d} ; ν) (resp Dod(\underline{d} ; ν)), la valeur de D(\underline{f} ; ν) (resp Δ(\underline{d} ; ν)) en (X^{α}, X^{β}) est le coefficient de X^{β} dans le polynôme

X^{α}/X_{i(α)}^{d_{i(α)}/m_{i(α)}} · f_{i(α)},

où l’on pose i(α) := \underline{d} − index(X^{α}) pour simplifier.

On pose également

D (f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν) = D(\underline{f} ; ν) := dét D (f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν)
Δ (f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν) = Δ(\underline{f} ; ν) := dét Δ (f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν)

où, par convention, le déterminant de φ ∈ Mat_{ϕ}(ℓ) vaut 1.

Ces constructions sont surtout intéressantes lorsque l’entier ν est exempt d’inertie. Dans ce cas

D (f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν) : ^{a}Mon(n ; ν) ×^{a}Mon(n ; ν) → ℓ,

et on a, posant B := ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}),

(4.2.6)  D(\underline{f} ; ν) · B_{ν} = 0 dans B_{ν} .

C’est clair lorsque ν ∉ Nm_{1} +⋯+Nm_{n}, puisqu’alors B_{ν} = 0. Si ν ∈ Nm_{1} +⋯+Nm_{n}, cela se voit comme suit. Notons X et M les matrices

aMon(n ; ν) × {∗} → ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]
X :  (X^{α}, {∗})  ↦ X^{α}
M :  (X^{α} ; {∗})  ↦ (X^{α}/X_{i(α)}^{d_{i(α)}/m_{i(α)}}) · f_{i(α)},

on a, par construction,

D(\underline{f} ; ν) ∘ X = M

d’où, par multiplication par la matrice adjointe D(\underline{f} ; ν)^{∼},

D(\underline{f} ; ν) · X = D(\underline{f} ; ν)^{∼} ∘ M,

égalité qui montre que D(\underline{f} ; ν)X^{α} ∈ (f_{1}, ⋯, f_{n}) pour tout X^{α} ∈ ^{a}Mon(n; ν).

4.2.7 Sous les hypothèses préliminaires de (4.2), nous dirons qu’un entier ν est \underline{d} - efficace (ou simplement efficace si aucune confusion n’est possible) lorsque ν appartient à Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n} et est exempt d’inertie.

La condition : ν ∈ Nm_{1} + ⋯ + Nm_{n} se traduit en disant que C_{ν} ≠ 0. Dans la situation générique sur un anneau commutatif k :

ℓ = A := k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}], f_{i} = ∑_{α} U_{iα}X^{α}, ⋯,

cela équivaut, par le lemme de Nakayama gradué, à la condition B_{ν} ≠ 0. En situation générique, un entier ν est donc \underline{d} - efficace si et seulement si

0 = H𝔐^{0}(B)_{ν} ⊂ B_{ν} ≠ 0.

Si ν ∈ Nm_{1} + ⋯ + Nm_{n}, et δ − ν ∉ Nm_{1} + ⋯ + Nm_{n}, l’entier ν est \underline{d} - efficace. L’exemple simple suivant montre que la réciproque n’est pas en général vraie.

4.2.8 L’exemple suivant, bien qu’élémentaire, est instructif, car il donne lieu à plusieurs phénomènes qui ne peuvent se produire dans le cas standard, auquel la suite du paragraphe 4 sera consacrée.

Prenons n = 2, m_{1} = 2, m_{2} = 3, d_{1} = 4, d_{2} = 9, de sorte que d_{1}/m_{1} = 2, d_{2}/m_{2} = 3 et δ = 13−5 = 8. Plaçons-nous dans la situation suivante (non standard) sur un anneau commutatif k :

\begin{aligned}A & = k[U, V] \\ f_{1} & = UX_{1}^{2}, f_{2} = V X_{2}^{3} \\ B & = k[U, V, X_{1}, X_{2}]/(UX_{1}^{2}, V X_{2}^{3}) . \end{aligned}

Nous allons d’abord montrer que dans ce cas on a

H𝔐^{0}B = (UV)B.

En effet, il est tout d’abord clair que UV ∈ H𝔐^{0}(B)_{0} =: A, et nous allons vérifier que la k-algèbre

D := B/UV B = k[U, V, X_{1}, X_{2}]/(UV, UX_{1}^{2}, V X_{1}^{3})

est telle que H𝔐^{0}(D) = 0. Pour cela, observons tout d’abord que, comme \overline{UV} = 0 dans D, tout élément y de D est la classe dans D d’un P ∈ A[X_{1}, X_{2}] de la forme

P = Q(X_{1}, X_{2}) + UL(U, X_{1}, X_{2}) + V M(V, X_{1}, X_{2}),

avec Q ∈ k[X_{1}, X_{2}], L ∈ k[U, X], M ∈ k[V, X]. Lorsque y ∈ H𝔐^{0}(D), il existe un entier N ≥ 0 tel que

(a)  X_{1}^{N}P ∈ (UV, UX_{1}^{2}, V X_{2}^{3})
(b)  X_{2}^{N}P ∈ (UV, UX_{1}^{2}, V X_{2}^{3}).

Par spécialisation U ↦ 0, V ↦ 0 dans (a) ou (b), on en conclut tout d’abord que Q = 0. Ensuite, la spécialisation V ↦ 0 dans (b) (resp. U ↦ 0 dans (a)) montre que X_{1}^{2} divise L (resp. X_{2}^{3} divise M) dans k[U, V, X_{1}, X_{2}], donc P ∈ (UV, UX_{1}^{2}, V X_{2}^{3}) comme annoncé.

Pour 0 ≤ ν ≤ 8 = δ, cela permet de dresser le tableau de valeurs ci-dessous

C_{ν}  B_{ν}  H𝔐^{0}(B)_{ν}
0  A  A  AUV
1  0  0  0
2  AX_{1}  AX̄_{1}  AUV X̄_{1}
3  AX_{2}  AX̄_{2}  AUV X̄_{2}
4  AX_{1}^{2}  A/(U).X̄_{1}^{2}  0
5  AX_{1}X_{2}  AX̄_{1}X̄_{2}  AUV X̄_{1}X̄_{2}
6  AX_{1}^{3} ⊕ AX_{2}^{2}  A/(U)X̄_{1}^{3} ⊕ AX̄_{2}^{2}  AUV X̄_{2}^{2}
7  AX_{1}^{2}X_{2}  A/(U)(X_{1}^{2}X_{2})^{−}  0
8  AX_{1}^{4} ⊕ AX_{1}X_{2}^{2}  A/(U)X̄_{1}^{4} ⊕ A(X_{1}X_{2}^{2})^{−}  AUV (X_{1}X_{2}^{2})^{−}

Il ressort en particulier de ce tableau que les entiers 1, 4, 7 sont exempts d’inertie et que seuls 4 et 7 sont efficaces. Le fait curieux est que à la fois 4 et δ − 4 sont efficaces.

Les valeurs correspondantes pour D(UX_{1}^{2}, V X_{2}^{3} ; ν) sont 1 (pour ν = 1) et U (pour ν = 4 et 7). On observera qu’elles appartiennent bien à ann_{A}(B_{ν}) en conformité avec (4.2.6) mais n’appartiennent pas à A := H𝔐^{0}(B)_{0}.

4.2.9 Supposons que, pour tout i ∈ [n], l’entier m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise d_{i} (cas standard). Alors tout entier ν divisible par pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n}) et vérifiant l’inégalité ν > δ appartient à Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n} d’après Brauer (4.1.1), donc est efficace.

Posons, pour tout i ∈ [n], r_{i} := d_{i}/m_{i}. Le fait que m_{n} divise tous les entiers d_{i} = m_{i}r_{i} permet de définir par passage au quotient le morphisme de groupes

w : Z/r_{1}Z × Z/r_{2}Z × ⋯ × Z/r_{n−1}Z → Z/m_{n}Z.

(x̄_{1}, x̄_{2}, ⋯, x̄_{n−1}) ↦ (∑_{i=1}^{n−1} m_{i}x_{i})^{−}

Soit ν ∈ Zm_{1} + Zm_{2} + ⋯ + Zm_{n}, de sorte que ν̄ ∈ Im (w) dans Z/m_{n}Z. Identifiant la source de w aux suites (α_{1}, α_{2}, ⋯, α_{n−1}) ∈ N^{n−1} avec 0 ≤ α_{i} ≤ \frac{d_{i}}{m_{i}} − 1, on voit que w^{−1}(ν̄) est en correspondance biunivoque avec les suites α := (α_{1}, α_{2}, ⋯, α_{n}) ∈ Z^{n} vérifiant

(4.2.10)  \{ \begin{matrix}ν & = α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n}  (α ∈ Z^{n}) \\ 0 & ≤ α_{i} ≤ \frac{d_{i}}{m_{i}} − 1  (i ∈ [n − 1]). \end{matrix}

Le nombre de telles suites est donc égal à

|w^{−1}(0)| = (r_{1}r_{2} ⋯ r_{n−1})/|Im (w)| .

Or

\begin{aligned}|(m_{1}, ⋯, m_{n})Z/m_{n}Z| & = |Z/m_{n}Z|/|Z/(m_{1}, ⋯, m_{n})Z| \\ & = m_{n}/pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n}), \end{aligned}

d’où

|w^{−1}(0)| = (d_{1}d_{2} ⋯ d_{n−1})/χ

avec

χ := (m_{1}m_{2} ⋯ m_{n})/pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n})  (2.3.1)

Par suite (2.3.1 et [J3] 6.3.5 (A)), pour ν ∈ Zm_{1} + ⋯ + Zm_{n}, le nombre de α ∈ Z^{n} satisfaisant aux relations (4.2.10) coïncide avec le degré de ^{a}Res(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) (f_{i} génériques) par rapport à l’ensemble des coefficients de f_{n}.

Proposition 4.2.11.— On suppose que, pour tout i ∈ [n], l’entier m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise d_{i} (cas standard), et on considère la situation générique sur un anneau commutatif k :

\begin{aligned}A & = k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}], \\ f_{i} & = ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} U_{iα}X^{α} ∈ C = A[X_{1}, ⋯, X_{n}], \\ B & = C/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}). \end{aligned}

Etant donné un entier ν ∈ Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n} qui est efficace, les assertions suivantes sont vérifiées.

(i) On a ann_{A}(B_{ν}) = (^{a}Res(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})) ⊂ A.

(ii) L’élément D(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}; ν) de A (4.2.5) est non nul et divisible par aRes(f_{1}, ⋯, f_{n}) dans A. Par rapport à l’ensemble des coefficients de f_{n}, le polynôme D(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}; ν) est homogène de degré d_{1}d_{2} ⋯ d_{n−1}/χ = deg/_{f_{n}}^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n}).

(iii) Pour toute décomposition de ν dans Z de la forme (4.2.10)

\{ \begin{matrix}ν & = α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n} \\ 0 & ≤ α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1  (1 ≤ i ≤ n − 1), \end{matrix}

l’élément α_{n} appartient à N : α_{n} ≥ 0.

(iv) On a : δ −ν ∉ Nm_{1} +Nm_{2} +⋯+Nm_{n}, autrement dit δ −ν n’est pas efficace.

Preuve : Pour montrer (i), nous allons d’abord supposer k intègre. Dans ce cas, on sait ([J3] 6.3.6) que l’anneau B/H𝔐^{0}B est intègre, donc que, pour tout x ≠ 0 dans B/H𝔐^{0}B, on a ann_{A}(x) = A := H𝔐^{0}(B)_{0}. Comme ν est efficace, on a (4.2.7)

0 ≠ B_{ν} = (B/H𝔐^{0}B)_{ν} ⊂ B/H𝔐^{0}B,

d’où aussitôt (i) dans ce cas. En particulier, avec des notations standard, on a une suite exacte de _{Z}A-modules

(4.2.12) 0 → _{Z}A ⟶^{^{a}Res(f_{1},···,f_{n})}_{Z}A⟶^{u}_{Z}B_{ν}^{^{a}Mon(n ; ν)}

1 ⟼ (X̄^{α}| deg_{a}(X^{α}) = ν)

qui le demeure après tensorisation sur Z par Z/pZ pour tout nombre premier p. Comme ZA et _{Z}B_{ν} sont des groupes abéliens sans Z-torsion, (si 0 ≠ x ∈_{Z} B_{ν}, on a ann_{_{Z}A}(x) = (^{a}Res(\underline{f})) par ce qui précède), on en déduit que, posant Q := Coker(u), le groupe abélien Q est sans Z-torsion, donc plat. L’assertion (i) dans le cas général s’obtient alors par tensorisation de (4.2.12) par k sur Z, compte tenu notamment de ce que, dans le cas standard, le résultant est invariant par changement d’anneau de base ([J3] 6.3.5 (A) (iii)). Montrons (ii). Tout d’abord, il résulte aussitôt des définitions que

D(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, X_{2}^{d_{2}/m_{2}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) = 1 dans k,

ce qui montre par spécialisation que D(f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν) n’est pas nul. Comme D(\underline{f} ; ν) ∈ ann_{A}(B_{ν}) par (4.2.6), il résulte de (i) que D(\underline{f} ; ν) est divisible par aRes(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}). Par construction, le degré d’homogénéité de D(\underline{f} ; ν) par rapport aux coefficients de f_{n} est le nombre de (α_{1}, α_{2}, ⋯, α_{n}) ∈ N^{n} tels que

(4.2.13)  \{ \begin{matrix}ν & = α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n}  (α ∈ N^{n}) \\ 0 & ≤ α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1  (1 ≤ i ≤ n − 1) . \end{matrix}

Notant L le nombre de solutions de (4.2.13) et M celui de (4.2.10), on a

L ≤ M = (d_{1}d_{2} ⋯ d_{n−1})/χ,

l’égalité provenant de la fin du paragraphe (4.2.9). Par ailleurs, comme aRes (f_{1}, ⋯, f_{n}) divise D(\underline{f} ; ν), on a

L ≥ deg/_{f_{n}}(^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n})) = (d_{1}d_{2} ⋯ d_{n−1})/χ

d’où L = M = (d_{1}d_{2} ⋯ d_{n−1})/χ = deg/_{f_{n}}(^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n})).

Ceci achève la preuve de (ii) et montre en même temps l’assertion (iii) : toute solution du système (4.2.10) est solution de (4.2.13). Montrons (iv). Comme L ≥ 1, il y a au moins une solution de (4.2.13), soit (α_{1}, α_{2}, ⋯, α_{n}) ∈ N^{n}. Alors

(4.2.14)  δ − ν = ∑_{i=1}^{n}(d_{i}/m_{i} − 1 − α_{i})m_{i}

et 0 ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1 − α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1 (1 ≤ i ≤ n − 1). Si δ − ν appartenait à Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n}, il serait \underline{d}-efficace ; l’assertion (iii) appliquée à δ − ν et à l’égalité (4.2.14) impliquerait alors que α_{n} ≤ \frac{d_{n}}{m_{n}} − 1, en contradiction avec le fait que le monôme X_{1}^{α_{1}}X_{2}^{α_{2}} ⋯ X_{n}^{α_{n}} est \underline{d}-repu (4.2.2, 1 (iii)).

Corollaire 4.2.15.— (Cas standard : ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise pgcd(d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n})).

1) Soit ν ∈ Z un entier divisible par pgcd(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}). Pour que ν soit efficace pour la situation décrite par les deux suites d’entiers (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}), il faut et il suffit que δ − ν ∉ Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n}.

2) Soit ν ∈ Z un entier efficace pour la situation décrite par les deux suites d’entiers (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}). Supposons en outre donnés une partie J ≠ [n] de [n] et, pour tout j ∈ J, un entier α_{j} avec 0 ≤ α_{j} ≤ (d_{j}/m_{j}) − 1. Dans ces conditions, l’entier ν − ∑_{j∈J} α_{j}m_{j} est exempt d’inertie pour la situation décrite par les suites d’entiers

(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n})Ĵ et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n})Ĵ, où la notation Ĵ signifie que l’on a oté les entrées dont la position j appartient à J.

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R2 52

De plus, pour que ν − ∑_{j∈J} α_{j}m_{j} soit efficace par rapport à cette même situation, il faut et il suffit que ν − ∑_{j∈J} α_{j}m_{j} soit divisible par pgcd_{i∉J}(m_{i}). Autrement dit, les assertions suivantes sont équivalentes :

(a)  ν − ∑_{j∈J} α_{j}m_{j} ∈ ∑_{i∉J} Zm_{i},

(b)  ν − ∑_{j∈J} α_{j}m_{j} ∈ ∑_{i∉J} Nm_{i}.

Preuve : Montrons 1). Si ν est efficace, il résulte de (4.2.11 (iv)) que δ − ν ∉ ∑_{i≥1} Nm_{i}. Inversement, si δ − ν ∉ ∑_{i≥1} Nm_{i}, l’entier δ − ν est exempt d’inertie, et il en est de même pour ν d’après (4.2.2 ; 2). Il suffit pour conclure de montrer que ν ∈ ∑_{i≥1} Nm_{i}, ce qui résulte aussitôt du lemme suivant.

Lemme 4.2.16.— (Cas standard). Soit ν ∈ Z un entier divisible par pgcd(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}). Alors l’un des entiers ν ou δ − ν appartient à Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n}.

Montrons le lemme. L’assertion est claire si ν ≤ 0 (4.2.9). Si le lemme n’était pas vrai, il existerait donc un entier ν divisible par pgcd(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) tel que ν ∉ ∑_{i≥1} Nm_{i} et δ − ν ∉ ∑_{i≥1} Nm_{i}, et minimum pour ces propriétés. On ne saurait avoir ν − m_{1} ∈ ∑_{i≥1} Nm_{i}, et par suite le caractère minimal de ν implique l’existence d’entiers α_{i} ≥ 0 (i ∈ [n]) tels que

(4.2.17)  \begin{aligned}δ − (ν − m_{1}) & = δ − ν + m_{1} \\ & = α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n}. \end{aligned}

Par division euclidienne, on peut supposer que 0 ≤ α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1 lorsque i ≥ 2 : si

α_{i} = \frac{d_{i}}{m_{i}} q_{i} + r_{i} (division euclidienne),

on a

(\frac{d_{i}}{m_{i}} q_{i}) m_{i} = d_{i}q_{i} = (\frac{d_{i}}{m_{1}} q_{i}) m_{1} ∈ Nm_{1}.

Comme δ − ν ∉ ∑_{i≥1} Nm_{i}, on a nécessairement α_{1} = 0 dans (4.2.17), d’où finalement

\{ \begin{matrix}δ − ν + m_{1} & = ∑_{i≥2} α_{i}m_{i} \\ 0 ≤ α_{i} & ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1  (2 ≤ i ≤ n). \end{matrix}

Mais alors

\begin{aligned}ν & = δ − ∑_{i≥2} α_{i}m_{i} + m_{1} \\ & = \frac{d_{1}}{m_{1}} m_{1} + ∑_{i≥2} (\frac{d_{i}}{m_{i}} − 1 − α_{i}) m_{i} ∈ ∑_{i} Nm_{i}, \end{aligned}

en contradiction avec l’hypothèse ν ∉ ∑_{i} Nm_{i}.

Montrons 2). Par récurrence et changement éventuel d’indexation pour les suites \underline{m}, \underline{d}, on se ramène au cas où J = [n − 1]. Soit donc 0 ≤ α_{n} ≤ (d_{n}/m_{n}) − 1. Il s’agit de montrer d’abord que, pour toute décomposition

ν − α_{n}m_{n} = ∑_{i=1}^{n−1} β_{i}m_{i} (β_{i} ∈ Z),

l’un des β_{i} au moins n’appartient pas à l’intervalle [0, d_{i}/m_{i} − 1]. Cela résulte aussitôt de (4.2.2 ; 1 (iii)) appliqué à la décomposition

ν = β_{1}m_{1} + ⋯ + β_{n−1}m_{n−1} + α_{n}m_{n}

de ν. Sous la seule hypothèse que ν est exempt d’inertie, on a ainsi montré que ν − α_{n}m_{n} est exempt d’inertie pour la situation décrite par les deux suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n−1}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n−1}).

Il reste à montrer que si ν − α_{n}m_{n} ∈ ∑_{i=1}^{n−1} Zm_{i}, alors ν − α_{n}m_{n} ∈ ∑_{i=1}^{n−1} Nm_{i}.

Par division euclidienne comme dans la preuve de 1), on peut écrire ν − α_{n}m_{n} sous la forme

ν − α_{n}m_{n} = β_{1}m_{1} + β_{2}m_{2} + ⋯ + β_{n−1}m_{n−1}

avec 0 ≤ β_{i} ≤ d_{i}/m_{i} − 1 lorsque 1 ≤ i ≤ n − 2. Par application de (4.2.11 (iii)) à la décomposition

ν = β_{1}m_{1} + β_{2}m_{2} + ⋯ + β_{n−1}m_{n−1} + α_{n}m_{n}

et aux suites (m_{1}, ⋯, m_{n−2}, m_{n}, m_{n−1}) et (d_{1}, ⋯, d_{n−2}, d_{n}, d_{n−1}), on voit que β_{n−1} ≥ 0, d’où

ν − α_{n}m_{n} = ∑_{i=1}^{n−1} β_{i}m_{i} ∈ ∑_{i=1}^{n−1} Nm_{i} comme annoncé. Cela achève la démonstration.

4.3 La proposition suivante généralise au cas standard un certain nombre de théorèmes dus à Macaulay lorsque m_{1} = m_{2} = ⋯ = m_{n} = 1 (voir [J5] 3.9.4 et 3.9.5 pour des énoncés plus précis).

Proposition 4.3.1.— (Cas générique standard)

Soit ν un entier efficace pour la situation définie par les deux suites d’entiers (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}).

(i) Les éléments D(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) et Δ(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) de A = k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}] ne divisent pas zéro dans A et on a l’égalité

D(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) = ^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n})Δ(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν)

dans A.

(ii) Soit Σ une partie de 𝔖_{n} telle que l’application

\begin{matrix}Σ & → [n] \\ σ & ↦ σ(n) \end{matrix}

soit surjective. Lorsque spec (k) est connexe, tout élément a de A qui divise tous les éléments D(f_{σ(1)}, ⋯, f_{σ(n)} ; ν) (σ ∈ Σ) dans A est soit inversible dans A, soit multiple de^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n}) par un élément inversible de A. En particulier, dans un sens évident, lorsque spec (k) est connexe, l’élément ^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n}) de A est un plus grand commun diviseur des D(\underline{f}_{σ} ; ν) (σ ∈ Σ).

Preuve : Montrons (i). Que D(\underline{f}_{σ} ; ν) et Δ(\underline{f}_{σ} ; ν) ne divisent pas zéro dans A est un phénomène général : par spécialisation f_{i} ↦ X_{i}^{d_{i}}, on a

D(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) = Δ(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) = 1,

et on peut appliquer le lemme de Dedekind - Mertens (cf. [J5] 3.9.3.5). D’après ce qui précède et (4.2.11 (ii)), on peut écrire de manière unique

(4.3.2)  D(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) = H ^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n})

dans A, avec pour H un polynôme homogène par rapport à l’ensemble des coefficients de chacun des f_{i}, et indépendant des coefficients de f_{n}. Utilisons les notations

\begin{aligned}\overline{f}_{i} & = f_{i}(X_{1}, ⋯, X_{n−1}, 0) (i ∈ [n]) \\ ^{a}ρ & = ^{a}Res(f̄_{1}, f̄_{2}, ⋯, f̄_{n−1}) \\ m & = ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}). \end{aligned}

Par spécialisation f_{n} ↦ X_{n}^{d_{n}/m_{n}}, on déduit de (4.3.2) les égalités

D(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) = H ^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}})
= H ^{a}Res(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{m/m_{n}})^{d_{n}/m}
= H(^{a}ρ)^{\frac{dnpgcd(m_{1},···,mn)}{mnpgcd(m_{1},···,m_{n−1})}} ,

où la deuxième ligne provient de la propriété de multiplicativité du résultant, et la troisième de ([J3] 6.3.9.2 et 6.3.9.3). Autrement dit, on a

(4.3.3)  D(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) = H(^{a}ρ)^{\frac{dn}{ppcm(mn,pgcd(m_{1},···,m_{n−1}))}}

Pour expliciter la matrice D(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν), nous utiliserons les notations suivantes

aMon_{ℓ}(n ; ν) = {X^{α}|α ∈ N^{n}, deg_{a}(X^{α}) = ν et α_{n} = ℓ}
aMon_{≥ℓ}(n ; ν) = {X^{α}|α ∈ N^{n}, deg_{a}(X^{α}) = ν et α_{n} ≥ ℓ}

pour tout ℓ ∈ N, ainsi que

\begin{aligned}W_{1} & = \{X^{α}| deg_{a}(X^{α}) = ν, i(α) < n, α_{n} ≥ d_{n}/m_{n}\} \\ W_{2} & = \{X^{α}| deg_{a}(X^{α}) = ν, i(α) = n\} \end{aligned}

(ou, pour simplifier, on a posé i(α) := \underline{d} − index(X^{α})).

Avec ces notations, on a

aMon (n ; ν) = ^{a}Mon_{0}(n ; ν) ⨿ ⋯ ⨿^{a}Mon_{(d_{n}/m_{n})−1}(n ; ν) ⨿ W_{1} ⨿ W_{2},
aMon_{≥d_{n}/m_{n}}(n ; ν) = W_{1} ⨿ W_{2}.

Pour i(α) < n, la ligne de X^{α} dans la matrice D(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) est formée des coefficients du polynôme

[X^{α}/X_{i(α)}^{d_{i(α)}/m_{i(α)}}] f_{i(α)}
= (X^{α}/X_{i(α)}^{d_{i(α)}/m_{i(α)}}) [\overline{f}_{i(α)}(X_{1}, ⋯, X_{n−1}) + termes en X^{β} avec β_{n} > 0]

tandis que, pour i(α) = n, elle est définie par

(X^{α}/X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) · X_{n}^{d_{n}/m_{n}} = X^{α}.

Par suite, la matrice D(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) est triangulaire supérieure par blocs de blocs carrés diagonaux

K_{0}, K_{1}, ⋯, K_{ℓ}, ⋯, K_{(d_{n}/m_{n})−1}, L_{1}, L_{2}

indexés respectivement par

aMon_{0} (n ; ν),^{a}Mon_{1} (n ; ν), ⋯,^{a}Mon_{(d_{n}/m_{n})−1} (n ; ν), W_{1}, W_{2}.

Dans cette décomposition, on a L_{2} = 1_{W_{2}}. Pour 0 ≤ ℓ ≤ \frac{d_{n}}{m_{n}} − 1, l’entier ν − ℓm_{n} est exempt d’inertie par rapport aux deux suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n−1}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n−1}) d’après (4.2.15 (2)) et supérieur ou égal à zéro (écrivant ν = α_{1}m_{1} + ⋯ + α_{n}m_{n} avec 0 ≤ α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1 pour tout i ∈ [n − 1] et α_{n} ∈ N, on a nécessairement α_{n} ≥ d_{n}/m_{n} par (4.2.2) (1, (iii)), d’où ν − ℓm_{n} ≥ ν − α_{n}m_{n} ≥ 0). Par suite,

aMon (n − 1 ; ν − ℓm_{n}) = Rep (d_{1}, ⋯, d_{n−1} ; ν − ℓm_{n})

pour l’ensemble des variables X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n−1} affectées des poids (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n−1}). Cela étant, la bijection canonique

\begin{matrix}^{a}Mon (n − 1 ; ν − ℓm_{n}) & →^{∼}^{a}Mon_{ℓ} (n − 1 ; ν) \\ X_{1}^{α_{1}}X_{2}^{α_{2}} ⋯ X_{n−1}^{α_{n−1}} & ↦ X_{1}^{α_{1}}X_{2}^{α_{2}} ⋯ X_{n−1}^{α_{n−1}}X_{n}^{ℓ} \end{matrix}

permet d’identifier les matrices K_{ℓ} et ^{a}D(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}) par transport de structure.

De ces considérations résulte l’égalité

(4.3.4) D(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) = dét(L_{1}) ∏_{0≤ℓ≤ \frac{dn}{mn} −1} D(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}),

avec, rappelons-le, la convention dét (φ : ϕ × ϕ → A) = 1.

Par construction, la matrice Δ(f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν) ne dépend pas des coefficients de f_{n}, d’où

Δ(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) = Δ(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν).

Posant Dod_{ℓ} (\underline{d} ; ν) := \{X^{α} ∈ Dod (\underline{d} ; ν) | α_{n} = ℓ\} (ℓ ∈ N), la matrice Δ(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) est donc la sous-matrice carrée de D(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}; ν) construite sur la partie

Dod (\underline{d} ; ν) = Dod_{0} (\underline{d} ; ν) ⨿ ⋯ ⨿ Dod_{d_{n}/m_{n}−1} (\underline{d} ; ν) ⨿ W_{1}

de ^{a}Mon (n ; ν). Par rapport à cette partition ordonnée de son ensemble d’indices, elle est triangulaire supérieure par blocs de blocs carrés diagonaux

M_{0}, M_{1}, ⋯, M_{d_{n}/m_{n}−1}, L_{1}

et, pour tout 0 ≤ ℓ ≤ (d_{n}/m_{n}) − 1, la bijection canonique

\begin{matrix}Dod (d_{1}, ⋯, d_{n−1} ; ν − ℓm_{n}) & →^{∼} Dod_{ℓ} (d_{1}, ⋯, d_{n} ; ν) \\ X_{1}^{α_{1}}X_{2}^{α_{2}} ⋯ X_{n−1}^{α_{n−1}} & ↦ X_{1}^{α_{1}}X_{2}^{α_{2}} ⋯ X_{n−1}^{α_{n−1}}X_{n}^{ℓ} \end{matrix}

permet par transport de structure d’identifier M_{ℓ} et Δ(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}).

On en déduit, par passage aux déterminants, l’égalité

(4.3.5)  Δ(f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν) = dét(L_{1}) ∏_{0≤ℓ≤ \frac{dn}{mn} −1} Δ(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}),

dans A.

Cela étant, nous allons prouver l’égalité de (i) par récurrence sur n. Lorsque n = 1, on a f_{1} = UX_{1}^{d_{1}/m_{1}}, et le fait que ν soit efficace se traduit en disant que ν = αm_{1} avec α ≥ \frac{d_{1}}{m_{1}} ; alors ^{a}Mon (1 ; ν) = \{X_{1}^{α}\}, Δ(UX_{1}^{d_{1}/m_{1}} ; ν) ∈ Mat_{ϕ}(A) et D(UX_{1}^{d_{1}/m_{1}} ; ν) = U1_{{X_{1}^{α}}}, d’où aussitôt l’assertion :

D(UX_{1}^{d_{1}/m_{1}} ; ν) = U = ^{a}Res (UX_{1}^{d_{1}/m_{1}})Δ(UX_{1}^{d_{1}/m_{1}} ; ν).

Supposons donc l’égalité de (i) vraie pour n − 1 ≥ 1 et montrons-la pour n. Soit

0 ≤ ℓ ≤ (d_{n}/m_{n}) − 1. Si ν − ℓm_{n} ∉ ∑_{i=1}^{n−1} Nm_{i}, alors

D(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}) = Δ(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}) = 1 .

Si, par contre, ν − ℓm_{n} ∈ ∑_{i=1}^{n−1} Nm_{i}, alors l’entier ν − ℓm_{n} est efficace par rapport

aux deux suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n−1}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n−1}), et l’hypothèse de récurrence implique que

D(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}) = ^{a}ρΔ(\overline{f}_{1}, ⋯, \overline{f}_{n−1} ; ν − ℓm_{n}) dans A

La comparaison de (4.3.4) et (4.3.5) fournit donc l’égalité

(4.3.6)  D(f_{1}, ⋯, f_{n−1}, X_{n}^{d_{n}/m_{n}} ; ν) = (^{a}ρ)^{x}Δ(f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν)

avec

x = ♯{ℓ|0 ≤ ℓ ≤ (d_{n}/m_{n}) − 1 et ν − ℓm_{n} ∈ ∑_{i=1}^{n−1} Nm_{i}}.

L’équivalence des assertions a) et b) de (4.2.15 ; 2) dans le cas où ν est efficace montre que l’on a aussi

(4.3.7)  x = ♯{ℓ|0 ≤ ℓ ≤ (d_{n}/m_{n}) − 1 et ν − ℓm_{n} ∈ ∑_{i=1}^{n−1} Zm_{i}}.

Posons r_{n} := (d_{n}/m_{n}). Comme d_{n} ∈ Zm_{1} + ⋯ + Zm_{n−1}, l’application

\begin{matrix}π : Z/r_{n}Z & → Z/(Zm_{1} + ⋯ + Zm_{n−1}) \\ \overline{z} & ↦ (m_{n}z)^{−} \end{matrix}

est un morphisme de groupes bien défini, et l’identification des éléments de {0, 1, ⋯, (d_{n}/m_{n}) − 1} à leurs images dans Z/r_{n}Z identifie {0 ≤ ℓ ≤ (d_{n}/m_{n}) − 1|ν − ℓm_{n} ∈

∑_{i=1}^{n−1} Zm_{i}\} à π^{−1}(\overline{ν}). Or ν ∈ ∑_{i=1}^{n} Nm_{i}, donc \overline{ν} ∈ Im(π). Par suite, l’entier x est aussi le

cardinal de π^{−1}(0), soit

\begin{aligned}r_{n}/|Im π| & = r_{n}/[pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n−1})/pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n})] \\ & = \frac{d_{n}pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n})}{m_{n}pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n−1})} = \frac{d_{n}}{ppcm(m_{n}, pgcd(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n−1}))} . \end{aligned}

Cela étant, la comparaison de (4.3.3) et (4.3.6) montre que

(^{a}ρ)^{x}(H − Δ(f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν)) = 0,

d’où l’assertion à montrer, puisque ^{a}ρ ne divise pas zéro dans A ([J3] 6.3.5 (A) (ii)). La partie (ii) est contenue dans l’énoncé suivant, analogue de ([J5] 3.9.5.1) et qui se démontre de même que (loc cit).

Proposition 4.3.8.— (Cas générique standard).

Supposons donnée une partie Σ de 𝔖_{n} telle que l’application

\begin{matrix}Σ & → [n] \\ σ & ↦ σ(n) \end{matrix}

soit surjective. Etant donné un entier ν ∈ N, les assertions suivantes sont vérifiées.

(i) Les éléments Δ(\underline{f}_{σ} ; ν) (ν ∈ Σ) de A sont premiers dans leur ensemble dans les sens équivalents suivants.

α) Tout élément a de A qui divise les Δ(\underline{f}_{σ} ; ν) (σ ∈ Σ) dans A est inversible dans A.

β) Le seul idéal monogène de A contenant l’idéal

I_{Σ} := ∑_{σ∈Σ} AΔ(\underline{f}_{σ} ; ν)

de A est A tout entier.

(ii) On a l’inégalité

prof_{I_{Σ}}(A) ≥ 2.

Autrement dit, notant u et v les applications A-linéaires

u : a ↦ (aΔ(\underline{f}_{σ} ; ν))_{σ∈Σ}
v : (a_{σ})_{σ∈Σ} ↦ (a_{σ_{1}}Δ(\underline{f}_{σ_{2}} ; ν) − a_{σ_{2}}Δ(\underline{f}_{σ_{1}} ; ν))_{(σ_{1},σ_{2})∈Σ×Σ},

la suite

0 → A→^{u}A^{Σ}→^{v}A^{Σ×Σ}

est exacte.

On suppose désormais l’entier ν efficace pour les deux suites d’entiers (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}). Soit a un élément de A, dont on note (a_{ℓ})_{ℓ∈N} les composantes homogènes pour la N-graduation de la k-algèbre A définie par deg(U_{i,α}) = 1 pour tout (i, α). On suppose que a divise tous les déterminants D(\underline{f}_{σ} ; ν))_{σ∈Σ} dans A. Alors les assertions suivantes sont vérifiées.

(iii) Pour tout ℓ ∉ {0, (∑_{i=1}^{n} d_{1} ⋯ d̂_{i} ⋯ d_{n}) /χ} (où, rappelons-le, χ := m_{1}m_{2} ⋯ m_{n}

/pgcd(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n})), la composante a_{ℓ} est nilpotente dans A.

(iv) La partie U := D(a_{0}) de spec (k) est à la fois ouverte et fermée.

(v) On note V l’ouvert complémentaire de U dans spec (k), muni de sa structure de schéma (affine) induite par celle de spec (k). En outre, notant π : spec (A) → spec (k) la projection canonique, on pose

A_{U} := Γ(π^{−1}(U), Ã), A_{V} := Γ(π^{−1}(V), Ã),

de sorte que π^{−1}(U) = spec (A_{U}), π^{−1}(V) = spec (A_{V}), et, pour tout y ∈ A[X_{1}, ⋯, X_{n}], on note y_{U} (resp. y_{V}) l’image de y dans A_{U}[X_{1}, ⋯, X_{n}] (resp. A_{V} [X_{1}, ⋯, X_{n}]) par le morphisme de k[X_{1}, ⋯, X_{n}]-algèbre canonique A[X_{1}, ⋯, X_{n}] → A_{U}[X_{1}, ⋯, X_{n}] (resp. A_{V} [X_{1}, ⋯, X_{n}]). Avec ces notations, l’élément a_{U} de A_{U} est inversible, et il existe un élément inversible unique ξ de A_{V} tel que

a_{V} = ξ^{a}Res (f_{1V} , ⋯, f_{nV})

dans A_{V}. En particulier, lorsque spec (k) est connexe, l’élément a de A est, soit inversible dans A, soit multiple de ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) par un élément inversible de A.

Corollaire 4.3.9.— (Cas standard). Soient ℓ un anneau commutatif, et f_{i} ∈ ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}]_{d_{i}} (i ∈ [n]). Etant donné un entier ν efficace pour les deux suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}), on a l’égalité

D(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n} ; ν) = ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})Δ(f_{1}, ⋯, f_{n} ; ν)

dans ℓ.

Preuve Par spécialisation à partir du cas générique correspondant (4.3.1 (i)).

4.3.10 Nous allons terminer le paragraphe 4 par un exemple générique standard sur un anneau commutatif k. C’est celui où

m_{1} = m_{2} = 2, m_{3} = 3 et d_{1} = d_{2} = d_{3} = 6.

Avec les notations de 1, on a dans ce cas

\begin{aligned}δ & = 3 × 6 − (2 + 2 + 3) = 11 \\ χ & := \frac{m_{1}m_{2}m_{3}}{pgcd(m_{1}, m_{2}, m_{3})} = 12, \end{aligned}

et on vérifie facilement que

{ν|o ≤ ν ≤ 11, ν ∉ Nm_{1} + Nm_{2} + Nm_{3}} = {1}.

D’après (4.2.15 ; 1), l’entier 10 := δ − 1 est donc l’unique entier ∈ {0, 1, ⋯, 11} qui soit efficace pour les suites \underline{m} := (2, 2, 3) et \underline{d} := (6, 6, 6).

Les seuls monômes X^{α} avec deg_{a}(X^{α}) = 6 sont

X_{1}^{3}, X_{2}^{3}, X_{3}^{2}, X_{1}^{2}X_{2}, X_{1}X_{2}^{2}.

On peut donc, avec des changements de notations évidents, poser, pour 1 ≤ i ≤ 3,

f_{i} = U_{i}X_{1}^{3} + V_{i}X_{2}^{3} + W_{i}X_{3}^{2} + L_{i}X_{1}^{2}X_{2} + M_{i}X_{1}X_{2}^{2},

avec U_{i}, V_{i}, W_{i}, L_{i}, M_{i}(1 ≤ i ≤ 3) des indéterminées, et

A = k[U_{i}, V_{i}, W_{i}, L_{i}, M_{i}|1 ≤ i ≤ 3].

Les monômes X^{α} avec deg_{a}(X^{α}) = 10, rangés dans l’ordre lexicographique, sont

X_{1}^{5}, X_{1}^{4}X_{2}, X_{1}^{3}X_{2}^{2}, X_{1}^{2}X_{2}^{3}, X_{1}^{2}X_{3}^{2}, X_{1}X_{2}^{4}, X_{1}X_{2}X_{3}^{2}, X_{2}^{5}, X_{2}^{2}X_{3}^{2}.

Pour la situation (\underline{m}, \underline{d}), les monômes sont tous repus, mais aucun d’entre eux n’est dodu. Par suite, on a

Δ(f_{1}, f_{2}, f_{3} ; 10) = 1

et (4.3.1 (i)) le résultant anisotrope ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}) est le déterminant de la matrice 9 × 9

aMon (3; 10) ×^{a}Mon (3; 10) → A

ci-dessous

X_{1}^{5} X_{1}^{4}X_{2} X_{1}^{3}X_{2}^{2} X_{1}^{2}X_{2}^{3} X_{1}^{2}X_{3}^{2} X_{1}X_{2}^{4} X_{1}X_{2}X_{3}^{2} X_{2}^{5} X_{2}^{2}X_{3}^{2}
X_{1}^{5}  U_{1} L_{1}  M_{1}  V_{1}  W_{1}  0  0  0  0
X_{1}^{4}X_{2}  0  U_{1}  L_{1}  M_{1}  0  V_{1}  W_{1}  0  0
X_{1}^{3}X_{2}^{2}  0  0  U_{1}  L_{1}  0  M_{1}  0  V_{1} W_{1}
X_{1}^{2}X_{2}^{3} U_{2} L_{2}  M_{2}  V_{2}  W_{2}  0  0  0  0
X_{1}^{2}X_{3}^{2} U_{3} L_{3}  M_{3}  V_{3}  W_{3}  0  0  0  0
X_{1}X_{2}^{4}  0  U_{2}  L_{2}  M_{2}  0  V_{2}  W_{2}  0  0
X_{1}X_{2}X_{3}^{2} 0  U_{3}  L_{3}  M_{3}  0  V_{3}  W_{3}  0  0
X_{2}^{5}  0  0  U_{2}  L_{2}  0  M_{2}  0  V_{2} W_{2}
X_{2}^{2}X_{3}^{2}  0  0  U_{3}  L_{3}  0  M_{3}  0  V_{3} W_{3}

On peut retrouver ce résultat comme suit. Posant, pour tout i ∈ [3],

f_{i}^{#} = U_{i}X_{1}^{6} + V_{i}X_{2}^{6} + W_{i}X_{3}^{6} + L_{i}X_{1}^{4}X_{2}^{2} + M_{i}X_{1}^{2}X_{2}^{4},

on a (2.3.1)

(4.3.11)  Res (f_{1}^{#}, f_{2}^{#}, f_{3}^{#}) = ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3})^{χ} = ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3})^{12} .

Par ailleurs, posant, pour tout i ∈ [3],

g_{i} = U_{i}X_{1}^{3} + V_{i}X_{2}^{3} + W_{i}X_{3}^{3} + L_{i}X_{1}^{2}X_{2} + M_{i}X_{1}X_{2}^{2},

la formule de changement de base pour le résultant ([J3] 5.12) montre que

(4.3.12)  Res (f_{1}^{#}, f_{2}^{#}, f_{3}^{#}) = Res (g_{1}, g_{2}, g_{3})^{4} .

Enfin, posant, pour tout i ∈ [3],

h_{i} = U_{i}X_{1}^{3} + V_{i}X_{2}^{3} + W_{i}X_{3} + L_{i}X_{1}^{2}X_{2} + M_{i}X_{1}X_{2}^{2},

les polynômes h_{i} sont isobares de poids 3 pour la suite de poids (1, 1, 3) pour (X_{1}, X_{2}, X_{3}). Pour ces poids, une nouvelle application de (2.3.1) montre que

(4.3.13)  Res (g_{1}, g_{2}, g_{3}) = ^{a}Res (h_{1}, h_{2}, h_{3})^{3}.

Se ramenant au cas où k = Z, la comparaison de (4.3.11), (4.3.12) et (4.3.13) montre que

aRes (f_{1}, f_{2}, f_{3}) = ±^{a}Res (h_{1}, h_{2}, h_{3}).

Par spécialisation f_{i} ↦ X_{i}^{3}(i = 1, 2), f_{3} ↦ X_{3}^{2},, on en déduit

(4.3.14)  ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}) = ^{a}Res (h_{1}, h_{2}, h_{3}).

On retrouve l’expression déterminantale du premier membre en appliquant (4.3.1 (i)) aux suites \underline{m}′ := (1, 1, 3) et \underline{d}′ := (3, 3, 3) et à l’entier ν = 5 > δ′ = 3×3−(1+1+3) = 4.

5. Formules de Sylvester et applications

5.1 On se place dans la situation générale décrite en (1.1). Soient β = (β_{1}, β_{2}, ⋯, β_{n}) ∈ N^{n} et γ = (γ_{1}, γ_{2}, ⋯, γ_{n}) ∈ N^{n} tels que

deg_{a}(X^{β}) > deg_{a}(X^{γ}) − ∑_{i=1}^{n} m_{i}.

Alors il existe un entier i ∈ [n] tel que β_{i} ≥ γ_{i} : sinon on aurait β_{i} ≤ γ_{i} − 1 pour tout i ∈ [n], d’où

deg_{a}(X^{β}) = ∑_{i} m_{i}β_{i} ≤ ∑_{i} m_{i}(γ_{i} − 1) = deg_{a}(X^{γ}) − ∑_{i=1}^{n} m_{i}.

Soient μ ∈ N et γ = (γ_{1}, γ_{2}, ⋯, γ_{n}) ∈ N^{n}. Si μ > deg_{a}(X^{γ}) − ∑_{i=1}^{n} m_{i}, on déduit de ce qui précède, par linéarité à partir du cas des monômes, que tout g ∈ C_{μ} peut s’écrire d’au moins une manière sous la forme

g = ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{γ_{i}}g_{i},

avec g_{i} ∈ C_{μ−m_{i}γ_{i}} pour tout i ∈ [n].

Soit γ ∈ N^{n}. Lorsque min_{i}(d_{i}) > deg_{a}(X^{γ}) − ∑_{i=1}^{n} m_{i}, on peut donc décomposer les f_{i} (i ∈ [n]) sous la forme

(5.1.1)  f_{i} = ∑_{j=1}^{n} X_{j}^{γ_{j}}f_{ij}

avec f_{ij} ∈ C_{d_{i}−m_{j}γ_{j}}. Les formules de Cramer montrent que

(5.1.2)  X_{j}^{γ_{j}} dét (f_{st})_{1≤s,t≤n} ∈ (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})

dans C, donc la classe σ_{γ} de dét (f_{st})_{1≤s,t≤n} dans B appartient à

H𝔐^{0}(B)_{(∑_{i} d_{i})− deg_{a}(X^{γ})} = H𝔐^{0}(B)_{δ− (deg_{a}(X^{γ})−∑_{i} m_{i})}.

De plus (lemme de Wiebe), comme la suite (X_{1}^{γ_{1}}, ⋯, X_{n}^{γ_{n}}) de ℓ[X_{1}, ⋯, X_{n}] est régulière, cette classe σ_{γ} ne dépend pas des décompositions (5.1.1) choisies.

Soit β ∈ N^{n} tel que ν := deg_{a}(X^{β}) < min_{i}(d_{i}). Il résulte de ce qu’on vient de voir que

(5.1.3)  sylv_{β}(\underline{f}) := σ_{β+(1,1,···,1)} ∈ H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R2 63

On notera que

(5.1.4)  sylv_{0}(\underline{f}) := sylv_{0,0,···,0}(\underline{f}) ∈ H𝔐^{0}(B)_{δ}

n’est autre que l’élément noté Δ dans (3.6.3). Proposition 5.1.5.— Soit β, β′ ∈ N^{n} et ν ∈ N tels que

deg_{a}(X^{β}) = deg_{a}(X^{β′}) = ν < min_{i}(d_{i}).

Alors, notant δ_{ββ′} le symbole de Kronecker, on a l’égalité

X^{β′} sylv_{β}(\underline{f}) = δ_{ββ′} sylv_{0}(\underline{f})

dans H𝔐^{0}(B)_{δ}.

Preuve : a) Si β′ ≠ β, l’égalité deg_{a}(X^{β′}) = deg_{a}(X^{β}) montre l’existence d’un j ∈ [n] tel que β′_{j} ≥ β_{j} + 1. Comme X_{j}^{β_{j}+1} divise X^{β′}, la relation (5.1.2) appliquée à γ := β + (1, 1, ⋯, 1) :

X_{j}^{β_{j}+1} sylv_{β}(\underline{f}) = 0

montre que X^{β′} sylv_{β}(\underline{f}) = 0 dans B.

b) Pour définir sylv_{β}(\underline{f}), on doit choisir des décompositions

(5.1.6)  f_{i} = ∑_{j=1}^{n} X_{j}^{β_{j}+1}f_{ij}

avec f_{ij} ∈ C_{d_{i}−m_{j}(β_{j}+1)}, et alors

sylv_{β}(\underline{f}) := [dét (f_{st})_{1≤s,t≤n}]^{−} dans B.

De (5.1.6) résulte que

f_{i} = ∑_{j=1}^{n} X_{j}g_{ij}

avec g_{ij} := X_{j}^{β_{j}}f_{ij}. Par définition, on a

sylv_{0}(\underline{f}) = [dét (g_{st})_{1≤s,t≤n}]^{−} dans B.

La multilinéarité du déterminant par rapport aux colonnes montre alors que

sylv_{β}(\underline{f}) = [dét (f_{st})_{1≤s,t≤n}]^{−}
= X^{β}[dét (g_{st})_{1≤s,t≤n}]^{−}
= X^{β} sylv_{0}(\underline{f})

dans B, d’où l’assertion.

5.2 Choisissons, comme en (3.6.1), des décompositions

(5.2.1)  f_{i}(\underline{X}) − f_{i}(\underline{Y}) = ∑_{j=1}^{n}(X_{j} − Y_{j})f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})

(i ∈ [n]) dans C ⊗_{ℓ} C = ℓ[\underline{X}, \underline{Y}], et décomposons dét (f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y}))_{1≤i,j,≤n} suivant la (N × N)-graduation canonique de C ⊗_{ℓ} C :

dét (f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y}))_{1≤i,j,≤n} = ∑_{{p,q≥0 \atop p+q=δ}} h_{pq}(\underline{X}, \underline{Y})

avec h_{pq} ∈ C_{p} ⊗ C_{q}. On rappelle que

∇_{B}(\underline{f} ; \underline{X}) := dét (f_{ij})^{−} ∈ (B ⊗_{ℓ} B)_{δ}

ne dépend pas des décompositions (5.2.1) choisies ; pour tout 0 ≤ ν ≤ δ, il en est de même donc pour

∇_{B}(\underline{f}, ; \underline{X})_{ν,δ−ν} := h_{ν,δ−ν}(\underline{X}, \underline{Y})^{−}

dans B_{ν} ⊗_{ℓ} B_{δ−ν}. Lorsque ν < min_{i}(d_{i}), on a B_{ν} = C_{ν} ; écrivant

\begin{aligned}h_{ν,δ−ν}(\underline{X}, \underline{Y}) & = ∑_{deg_{a}(X^{β})=ν} X^{β}q_{β}(\underline{Y}) \\ & = ∑_{deg_{a}(X^{β})=ν} X^{β} ⊗_{ℓ} q_{β} \end{aligned}

dans C_{ν} ⊗_{ℓ} C_{δ−ν}, on en déduit que, pour tout β ∈ N^{n} tel que deg_{a}(X^{β}) = ν, la classe \overline{q}_{β} de q_{β} dans B_{δ−ν} ne dépend pas non plus des décompositions (5.2.1) choisies.

En fait, on a l’énoncé suivant.

Proposition 5.2.2.— Soit ν ∈ N tel que ν < min_{i}(d_{i}).

(i) Pour tout β ∈ N tel que deg_{a}(X^{β}) = ν, on a

\overline{q}_{β} = sylv_{β}(\underline{f}) dans B_{δ−ν} .

(ii) La composante homogène de bidegré (ν, δ − ν) de ∇_{B}(\underline{f} ; \underline{X}) vérifie l’égalité

∇_{B}(\underline{f} ; \underline{X})_{ν,δ−ν} = ∑_{deg_{a}(X^{β})=ν} X^{β} ⊗_{ℓ} sylv_{β}(\underline{f})

dans B_{ν} ⊗_{ℓ} B_{δ−ν} = C_{ν} ⊗_{ℓ} B_{δ−ν}.

(iii) L’application (3.6.5) θ_{δ−ν} : B_{ν}^{∨} = C_{ν}^{∨} → H𝔐^{0}(B)_{δ−ν} est telle que

θ_{δ−ν}(u) = ∑_{deg_{a}(X^{β})=ν} u(X^{β}) sylv_{β}(\underline{f})

pour tout u ∈ C_{ν}^{∨}. Autrement dit, notant (X^{β})^{∨} (deg_{a}(X^{β}) = ν) la base duale de

la ℓ-base canonique (X^{β}) (deg_{a}(X^{β}) = ν) de C_{ν}, on a
θ_{δ−ν}((X^{β})^{∨}) = sylv_{β}(\underline{f})

pour tout β ∈ N^{n} tel que deg_{a}(X^{β}) = ν.

Preuve : Il est clair qu’il suffit de prouver (i), les autres assertions s’en déduisant formellement à partir des définitions. Si deg_{a}(X^{β}) = ν < min_{i}(d_{i}), on peut (5.1.1) écrire les f_{i} sous la forme

f_{i} = ∑_{j=1}^{n} X_{j}^{β_{j}+1}g_{ij}

avec g_{ij} ∈ C_{d−m_{j}(β_{j}+1)}. On en déduit, pour tout i ∈ [n], l’égalité

f_{i}(\underline{X}) − f_{i}(\underline{Y}) = \{ \begin{matrix}& ∑_{j=1}^{n} X_{j}^{β_{j}+1}(g_{ij}(\underline{X}) − g_{ij}(\underline{Y})) \\ + & ∑_{j=1}^{n}(X_{j}^{β_{j}+1} − Y_{j}^{β_{j}+1})g_{ij}(\underline{Y}) \end{matrix}

qui permet d’écrire une décomposition du type (5.2.1), avec f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y}) de la forme

f_{ij}(\underline{X}, \underline{Y}) = ( ∑_{0≤t≤β_{j}} X_{j}^{t}Y_{j}^{β_{j}−t}) g_{ij}(\underline{Y}) + X_{j}^{β_{j}+1}λ_{ij}(\underline{X}, \underline{Y})

où λ_{ij} ∈ C ⊗_{ℓ} C. Pour des raisons évidentes de degrés, le coefficient de X^{β} dans le développement de dét (f_{ij})_{1≤i,j≤n} en polynôme en \underline{X} à coefficients dans ℓ[\underline{Y}] est le même que dans le développement analogue de

dét (( ∑_{0≤t≤β_{j}} X_{j}^{t}Y_{j}^{β_{j}−t}) g_{ij}(\underline{Y}))_{1≤i,j≤n}

= [∏_{j=1}^{n} ( ∑_{0≤t≤β_{j}} X_{j}^{t}Y_{j}^{β_{j}−t})] dét (g_{ij}(\underline{Y}))_{1≤i,j≤n}

Autrement dit,

q_{β}(\underline{Y}) = dét (g_{ij}(\underline{Y}))_{1≤i,j≤n},

d’où l’on déduit aussitôt que

\overline{q}_{β} = sylv_{β} (\underline{f}) dans B,

par définition de sylv_{β}.

Corollaire 5.2.3.— Supposons que l’application

1 ↦ sylv_{0} (\underline{f}) : ℓ → H𝔐^{0}(B)_{δ}

soit injective (c’est le cas lorsque la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière d’après (3.6.7) (i) et (1.5.1)). Alors, pour tout entier ν < min_{i}(d_{i}), l’application ℓ-linéaire (3.6.5)

θ_{δ−ν} : C_{ν}^{∨} = B_{ν}^{∨} → H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}

est injective.

Preuve : D’après (5.2.2 (iii)), il s’agit de montrer que les sylv_{β} (\underline{f}) (deg_{a}(X^{β}) = ν) forment une famille ℓ-libre. Soit pour cela une égalité

(5.2.4)  ∑_{deg_{a}(X^{β})=ν} a_{β} sylv_{β} (\underline{f}) = 0  (a_{β} ∈ ℓ).

Multipliant les deux membres de (5.2.4) par un X^{β′} avec deg_{a}(X^{β′}) = ν, on déduit aussitôt de (5.1.5) que

a_{β′} sylv_{0} (\underline{f}) = 0  dans  H𝔐^{0}(B)_{δ},

d’où a_{β′} = 0 d’après l’hypothèse faite dans l’énoncé.

5.2.5 Soit 0 ≤ ν ≤ δ un entier. Supposons que le ℓ-module B_{ν} soit libre, nécessairement de type fini, et choisissons-en une ℓ-base (ξ_{1}, ξ_{2}, ⋯, ξ_{s}), dont on note (ξ_{1}^{∨}, ξ_{2}^{∨}, ⋯, ξ_{s}^{∨}) la ℓ-base duale de B_{ν}^{∨}. On peut alors écrire de manière unique

∇_{B}(\underline{f} ; \underline{X})_{ν,δ−ν} = ∑_{t=1}^{s} ξ_{t} ⊗_{ℓ} η_{t}

dans B_{ν} ⊗_{ℓ} B_{δ−ν}.

L’application θ définie en (3.6.2) étant B-linéaire, on a en particulier que, pour tout t ∈ [s], le diagramme

B_{ν}^{∨} ⟶^{θ_{ν}} H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}
(×ξ_{t})^{∨}↓  ↓^{×ξ_{t}}
ℓ = B_{0}^{∨} ⟶^{θ_{δ}} H𝔐^{0}(B)_{δ}

est commutatif. Autrement dit, pour tout u ∈ B̌_{ν}, on a

ξ_{t} (∑_{t′=1}^{s} u(ξ_{t′})η_{t′}) = u(ξ_{t}) sylv_{0}(\underline{f})

dans H𝔐^{0}(B)_{δ}. Le cas où u = (ξ_{t′})^{∨} fournit l’égalité

(5.2.6)  ξ_{t}η_{t′} = δ_{tt′} sylv_{0}(\underline{f})  dans  H𝔐^{0}(B)_{δ},

où δ_{tt′} désigne le symbole de Kronecker.

Notant mult_{B} : B ⊗_{ℓ} B → B la multiplication de l’anneau B, on en déduit

(5.2.7)

mult_{B} (∇_{B}(\underline{f} ; \underline{X})_{ν,δ−ν}) = ∑_{t=1}^{s} ξ_{t}η_{t}
= dim_{ℓ}(B_{ν}) sylv_{0}(\underline{f})

dans H𝔐^{0}(B)_{δ}.

5.2.8 Soit 0 ≤ ν ≤ δ un entier. Faisons les hypothèses suivantes.

(a) Le ℓ-module B_{ν} admet une résolution libre finie

0 → L_{m} → L_{m−1} → ⋯ → L_{0} → B_{ν} → 0,

ce qui permet de définir sans ambiguïté (lemme de Schanuel) son rang

rg_{ℓ}(B_{ν}) := ∑_{i=0}^{m}(−1)^{i} dim_{ℓ}(L_{i}).

(b) Le ℓ-module H𝔐^{0}(B)_{δ} est un sous-module d’un ℓ-module libre.

Ces conditions sont notamment réalisées lorsque la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière : pour (a), on prend pour résolution la composante homogène de degré ν du complexe de Koszul Kosz(f_{1}, ⋯, f_{n} ; C), pour (b), on utilise l’isomorphisme (1.5.1) τ̂_{δ} : ℓ =

B_{0}^{∨} →^{∼} H𝔐^{0}(B)_{δ}.

Proposition 5.2.9.— (0 ≤ ν ≤ δ). Sous les hypothèses (a) et (b) de (5.2.8), on a l’égalité

mult_{B} (∇_{B}(\underline{f} ; \underline{X})_{ν,δ−ν}) = rg_{ℓ}(B_{ν}) sylv_{0}(\underline{f})

dans H𝔐^{0}(B)_{δ}.

Preuve : Posons x := mult_{B} (∇_{B}) − rg_{ℓ}(B_{ν}) sylv_{0}(\underline{f}). Pour tout idéal premier ℘ de ℓ attaché à ℓ, le ℓ_{℘}-module (B_{ν})_{℘} est libre de rang rg_{ℓ}(B_{ν}) ([No] th 2 p. 176 : th. d’Auslander - Buchsbaum). Par localisation, on déduit donc de (5.2.7) que

(5.2.10)  \frac{x}{1} = 0 dans [H𝔐^{0}(B)_{δ}]_{℘} pour tout ℘ ∈ Att_{ℓ}(ℓ).

On en conclut que x = 0 par l’argument classique suivant. Plongeons H𝔐^{0}(B)_{δ} dans un ℓ-module ℓ^{(I)}, et notons (x_{i})_{i∈I} les coordonnées de x dans la base canonique de ℓ^{(I)}. Si l’un des x_{i}, soit x_{i_{0}}, n’était pas nul, il existerait un idéal premier ℘ de ℓ minimal parmi ceux contenant ann_{ℓ}(x_{i_{0}}). D’après ([Du] prop. 2) ou ([No] Ex 4 p. 179), on aurait ℘ ∈ Att_{ℓ}(ℓ), d’où, par (5.2.10),

\frac{x_{i_{0}}}{1} = 0  dans  ℓ_{℘}.

Autrement dit, il existerait un y ∈ ℓ tel que

\{ \begin{matrix}y ∈ ann_{ℓ}(x_{i_{0}}) \\ y ∉ ℘, \end{matrix}

en contradiction avec l’inclusion de définition ℘ ⊃ ann_{ℓ}(x_{i_{0}}).

5.2.11 Soit k un anneau commutatif. Avec les notations de (1.1), supposons que la suite (F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n}) des polynômes homogènes génériques de degrés respectifs (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}) sur k soit régulière. D’après (2.2), il en est ainsi dans la situation standard ou, plus généralement, lorsque les conditions (H_{1}) a) et b) rappelées ci-après sont vérifiées.

a) Pour tout i ∈ [n], l’entier m_{i} divise tous les d_{j} à l’exception éventuellement de l’un d’eux.

b) Pour tout i ∈ [n], on a : d_{i} ∈ Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n}.

Dans ce cas, posant

B^{gén} := _{k}A[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n}),

on a

rg_{_{k}A} (B_{ν}^{gén}) = [\frac{(1 − T^{d_{1}}) ⋯ (1 − T^{d_{n}})}{(1 − T^{m_{1}}) ⋯ (1 − T^{m_{n}})}]_{T^{ν}}

pour tout ν ∈ N.

Par spécialisation F_{i} ↦ f_{i}, on déduit alors de (5.2.9) la proposition suivante :

Proposition 5.2.12.— (0 ≤ ν ≤ δ). Soit k un anneau commutatif. On suppose que les suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}) vérifient la condition explicitée en (5.2.11). Alors, sous les hypothèses préliminaires de (1.1) et lorsque ℓ est une k-algèbre, on a l’égalité suivante dans B_{δ} :

mult_{B}(∇_{B}(\underline{f} ; \underline{X})_{ν,δ−ν}) = r_{ν} sylv_{0}(\underline{f}),

avec

r_{ν} := [\frac{(1 − T^{d_{1}}) ⋯ (1 − T^{d_{n}})}{(1 − T^{m_{1}}) ⋯ (1 − T^{m_{n}})}]_{T^{ν}} .

5.3 Toujours sous les hypothèses préliminaires de (1.1), supposons de plus que

(5.3.1)  m_{i} divise d_{i} pour tout i ∈ [n]

Dans cette situation, nous utiliserons librement la terminologie et les notations introduites en (4.2). En particulier, pour tout β ∈ N^{n} qui est \underline{d}-repu, on note i(β) le \underline{d}-index de β

i(β) := inf {i ∈ [n]|β_{i} ≥ d_{i}/m_{i}}.

En outre, pour tout t ∈ N, on note

Nonrep (\underline{d} ; t) := ^{a}Mon(n ; t)\ Rep (\underline{d} ; t).

[Bien que les notations de monômes \underline{d}-repus, \underline{d}-dodus dépendent de la suite \underline{m} = (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}), nous ne la faisons pas figurer dans les notations, car cela ne saurait créer de confusion. Par contre, ayant parfois, dans les démonstrations, à considérer la graduation usuelle sur les monômes, nous faisons bien la distinction entre Mon (n ; t) et ^{a}Mon (n ; t), le premier correspondant à la graduation usuelle deg (X_{i}) = 1(i ∈ [n]) et le deuxième à la graduation deg_{a} (X_{i}) = m_{i}(i ∈ [n])].

Soit 0 ≤ ν ≤ δ. On suppose que

(5.3.2)  \{ \begin{matrix}a) ν < min_{i}(d_{i}), \\ b) δ − ν ∈ Nm_{1} + ⋯ + Nm_{n}, i.e. ^{a}Mon (n ; δ − ν) ≠ ϕ . \end{matrix}

Pour tout β ∈ ^{a}Mon (n ; ν), choisissons un relèvement noté Sylv_{β}(\underline{f}) de sylv_{β}(\underline{f}) (5.1.3) dans C (par exemple Sylv_{β}(\underline{f}) := q_{β}(\underline{X}) avec les notations de 5.2.2).

On définit comme suit une matrice

(5.3.3)  ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) : ^{a}Mon (n ; δ − ν) ×^{a}Mon (n ; δ − ν) → ℓ.

Pour tout β ∈ ^{a}Mon (n ; δ − ν), on a dans C

∑_{deg_{a}(X^{α})=δ−ν} ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) (X^{β}, X^{α})X^{α} :=

\{ \begin{matrix}[X^{β}/X_{i(β)}^{d_{i(β)}/m_{i(β)}}]f_{i(β)} & lorsque β ∈ Rep (\underline{d} ; δ − ν) \\ Sylv_{(d_{1}/m_{1}−β_{1}−1,d_{2}/m_{2}−β_{2}−1,···,d_{n}/m_{n}−β_{n}−1)}(\underline{f}) & lorsque β ∈ Nonrep (\underline{d} ; δ − ν) . \end{matrix}

Cela étant, on pose

(5.3.4)  ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) := dét (^{a}Θ_{ν}(\underline{f})) ∈ ℓ.

5.3.5 Nous utiliserons surtout ces constructions dans la situation générique sur un anneau commutatif k. Supposant dans ce cas faits des choix

aΘ_{ν}^{gén} := ^{a}Θ_{ν} (( ∑_{deg_{a}(X^{α})=d_{i}} U_{iα}X^{α})_{1≤i≤n})

aΘ_{ν}^{gén} := dét (^{a}Θ_{ν}^{gén}),

on en déduit, chaque fois que ℓ est une k-algèbre, des choix pour ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}),^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) par spécialisation (k-linéaire)

A = k[U_{iα}|i ∈ [n], deg_{a}(X^{α}) = d_{i}] → ℓ
U_{iα} ↦ u_{iα}.

5.3.6. Si^{a}Mon(n; ν) = ∅, l’élément^{a}θ_{ν}(\underline{f}) est uniquement déterminé. Lorsque^{a}Mon(n; ν) ≠ ∅, indiquons comment il dépend du choix des relèvements Sylv_{β}(\underline{f}) des sylv_{β}(\underline{f}). Soient (Sylv_{β}(\underline{f}))_{β} et (Sylv_{β}(\underline{f})′)_{β} deux choix auxquels sont associés ^{a}θ_{ν}(\underline{f}) et ^{a}θ_{ν}(\underline{f})′. Alors

(5.3.7)  X^{γ}(^{a}θ_{ν}(\underline{f}) −^{a} θ_{ν}(\underline{f})′) = 0 ∀γ ∈^{a} Mon(n; δ − ν) dans B .

Autrement dit, posant a :=^{a} θ_{ν}(\underline{f}) −^{a} θ_{ν}(\underline{f})′ ∈ ℓ, on a

(5.3.7)′  aB_{δ−ν} = 0 .

Il suffit pour le voir de supposer que sylv_{β}(\underline{f}) = sylv_{β}(\underline{f})′ pour tous les X^{β} ∈^{a} Mon(n; ν) à l’exception d’un seul, soit X^{β_{0}}. Alors

aθ_{ν}(\underline{f}) −^{a} θ_{ν}(\underline{f})′ = det(⋯, sylv_{β_{0}}(\underline{f}) − sylv_{β_{0}}(\underline{f})′, ⋯),

où les lignes de la matrice du deuxième membre sont figurées par des polynômes, appartenant tous à (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) ⊂ C, dont elles représentent les coefficients. L’égalité (5.3.7) résulte alors aussitôt des formules de Cramer. Soit X^{β} ∈^{a} Mon(n; ν) ≠ ∅. Comme sylv_{β}(\underline{f}) ∈ B_{δ−ν}, on déduit de (5.3.7)’ que

a sylv_{β}(\underline{f}) = 0 .

Multipliant les deux membres de cette égalité par X^{β}, il résulte alors de (5.1.5) que

a sylv_{0}(\underline{f}) = 0 dans B .

En particulier, cela montre que^{a}θ_{ν}(\underline{f}) ne dépend pas des choix faits lorsque l’application ℓ-linéaire

\begin{matrix}τ̂_{δ} : ℓ & → H𝔐^{0}(B)_{δ} \\ 1 & ↦ sylv_{0}(\underline{f}) \end{matrix}

est injective. C’est le cas lorsque la suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) est régulière, en particulier dans le cas générique standard ou semi-standard sur un anneau commutatif k, ou plus généralement lorsque la condition (H_{1}) de (2.2.B) est satisfaite. Lorsque, pour \underline{m}, \underline{d}

données vérifiant (5.3.1), la suite (fgén_{1}, ⋯, fgén_{n}) générique correspondante sur Z est régulière, on peut en général normaliser les choix faits, et obtenir une notion intrinsèque, par spécialisation à partir du cas générique sur Z.

Exemple 5.3.8 La suite (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) := (X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) est régulière dans C, donc ^{a}Θ_{ν}(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) ne dépend pas du choix des Sylv_{β}(\underline{f}). Comme

sylv_{β}(\underline{f}) = [X_{1}^{(d_{1}/m_{1})−1−β_{1}} ⋯ X_{n}^{(d_{n}/m_{n})−1−β_{n}}]^{−},

on peut prendre

Sylv_{β}(\underline{f}) := X_{1}^{(d_{1}/m_{1})−1−β_{1}} ⋯ X_{n}^{(d_{n}/m_{n})−1−β_{n}}

pour tout β ∈ ^{a}Mon(n ; ν). Pour ce choix, ^{a}Θ_{ν} = 1_{Mon(n ; δ−ν)}, donc

aΘ_{ν}(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, X_{2}^{d_{2}/m_{2}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) = 1

dans C.

5.3.9 Par définition de^{a}Θ_{ν}(\underline{f}), il résulte des formules de Cramer appliquées à la matrice aΘ_{ν}(\underline{f}) que

X^{β} ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) ∈ ((f_{i})_{1≤i≤n}, (Sylv_{β}(\underline{f}))_{β∈^{a}Mon(n ; ν)}) ⊂ C,

donc que

(5.3.10)  X^{β} ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) ∈ H𝔐^{0}(B)_{δ−ν}

pour tout β ∈ ^{a}Mon(n ; δ − ν).

En particulier, lorsque

δ − ν ∈ Nm_{1} ∩ Nm_{2} ∩ ⋯ ∩ Nm_{n},

le déterminant ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) est une forme d’inertie de degré zéro pour l’idéal (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) de C.

C’est aussi le cas en situation générique standard ou même semi-standard sur un anneau commutatif k, puisqu’alors

H𝔐^{0}(B) = H_{X_{i}}^{0}(B) ∀i ∈ [n]

d’après ([J3] 4.2.1 et 6.3.10.2). Par spécialisation, on en déduit que c’est vrai aussi en situation standard ou semi-standard non nécessairement générique, à condition de définir ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) par spécialisation à partir de choix génériques pour les polynômes Sylv_{β}, comme suggéré à la fin de (5.3.6).

Proposition 5.3.11.— On se place dans la situation générique standard sur un anneau commutatif k. En particulier,

m := ppcm(m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) divise d := pgcd(d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}).

On se fixe un entier ν < min_{i}(d_{i}), tel que m divise ν. Alors :

1) δ − ν ∈ Nm_{1} + Nm_{2} + ⋯ + Nm_{n}.

2) On peut définir sans ambiguïté (5.3.6) l’élément ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}), et les assertions suivantes sont vérifiées.

(i) Il existe un unique scalaire c_{ν}(\underline{f}) ∈ A tel que
aΘ_{ν}(\underline{f}) = c_{ν}(\underline{f}) ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})

dans A.

(ii) Par spécialisation f_{i} ↦ X_{i}^{d_{i}/m_{i}}, on obtient
c_{ν}(X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) = 1  dans  k.

En particulier, l’élément c_{ν}(\underline{f}) ne divise pas zéro dans A.

(iii) Pour tout i ∈ [n], l’élément c_{ν}(\underline{f}) de A est homogène par rapport à l’ensemble des coefficients de f_{i}. Il ne dépend pas des coefficients de f_{n}, autrement dit est homogène de degré zéro par rapport à l’ensemble de ces derniers.

Preuve : Montrons 1). Il est clair que pgcd(m_{1}, ⋯, m_{n})|δ − ν. Utilisant le théorème de Brauer (4.1.1), l’assertion résultera alors de l’inégalité

(5.3.12)  δ − ν ≥ (n − 1)m − ∑_{i=1}^{n−1} m_{i}

que nous allons vérifier. Par hypothèse, il existe des entiers r_{i} ≥ 1 tels que d_{i} = r_{i}m (i ∈ [n]), et l’on a ν < min_{i}(d_{i}) = [min_{i}(r_{i})]m, d’où, comme m divise ν,

ν ≤ [min_{i}(r_{i}) − 1]m.

On en déduit la succession d’égalité et d’inégalités

δ − ν = (∑_{i=1}^{n} r_{i}) m − (∑_{i=1}^{n} m_{i}) − ν

≥ [(∑_{i=1}^{n} r_{i}) − min_{i}(r_{i}) + 1] m − ∑_{i=1}^{n} m_{i}

≥ [(∑_{i=1}^{n} r_{i}) − min_{i}(r_{i})] m − ∑_{i=1}^{n−1} m_{i},

la dernière provenant de ce que m_{n} ≤ m. Alors (5.3.12) résulte de l’inégalité, immédiate puisque r_{i} ≥ 1 pour tout i ∈ [n],

(∑_{i=1}^{n} r_{i}) − min_{i}(r_{i}) ≥ n − 1.

Montrons 2). Tout d’abord (5.3.9), ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) est une forme d’inertie de degré 0 pour l’idéal (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) de C. Ceci montre ([J3] 6.3.5 (A) (i)) l’existence d’un élément c_{ν}(\underline{f}) comme en (i) ; son unicité provient de ce que ^{a}Res(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) ne divise pas zéro dans A ([J3] 6.3.5 (A) (ii)). Montrons (ii). On a

(5.3.8)  ^{a}Θ_{ν} (X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) = 1
aRes (X_{1}^{d_{1}/m_{1}}, ⋯, X_{n}^{d_{n}/m_{n}}) = 1  ([J3]6.3.5(A)(i))

dans k, d’où l’égalité de (ii) par comparaison avec la relation de définition de c_{ν}(\underline{f}). On en déduit que c_{ν}(\underline{f}) ne divise pas zéro dans A par application du lemme de Dedekind-Mertens. Montrons (iii). Le seul point délicat est de vérifier que c_{ν}(\underline{f}) ne dépend pas des coefficients de f_{n}. Par construction, le degré de ^{a}Θ_{ν}(\underline{f}) par rapport aux coefficients de f_{n} est le nombre de solutions (α_{1}, α_{2}, ⋯, α_{n}) dans Z^{n} du système

(I)  \{ \begin{matrix}α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n} = δ − ν \\ 0 ≤ α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1 pour tout i ∈ [n − 1] \\ α_{n} ≥ 0 . \end{matrix}

Par ailleurs ([J3] preuve de 6.3.10), l’élément ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) a pour degré par rapport aux coefficients de f_{n} le nombre de solutions (α_{1}, α_{2}, ⋯, α_{n}) dans Z^{n} du système

(II)  \{ \begin{matrix}α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n} = 0 \\ 0 ≤ α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i}) − 1 pour tout i ∈ [n − 1] . \end{matrix}

Comme m_{n}|ν, il existe c ∈ Z tel que d_{n} − m_{n} − ν = cm_{n}. Par substitution

\begin{matrix}α_{i} ↦ (d_{i}/m_{i} − 1) − α_{i} (i ∈ [n − 1]) \\ α_{n} ↦ c − α_{n} \end{matrix}

on voit que le nombre de solutions de (II) dans Z^{n} est égal au nombre de solutions (α_{1}, α_{2}, ⋯, α_{n}) ∈ Z^{n} du système

(II′)  \{ \begin{matrix}α_{1}m_{1} + α_{2}m_{2} + ⋯ + α_{n}m_{n} = δ − ν \\ 0 ≤ α_{i} ≤ (d_{i}/m_{i} − 1) pour tout i ∈ [n − 1]. \end{matrix}

On aura donc terminé si on vérifie que toute solution de (II′) est telle que α_{n} ≥ 0. Pour une telle solution, on a immédiatement

α_{n}m_{n} = δ − ν − (∑_{i=1}^{n−1} α_{i}m_{i})

≥ δ − ν − ∑_{i=1}^{n−1} (\frac{d_{i}}{m_{i}} − 1) m_{i}

≥ d_{n} − m_{n} − ν .

Par ailleurs, comme m divise ν et ν < d_{n}, on voit que ν ≤ d_{n} − m. D’autre part, il est clair que m_{n} ≤ m, d’où

d_{n} − m_{n} − ν ≥ m − m_{n} ≥ 0,

ce qui achève la démonstration (se placer sur Z, puis spécialiser).

Corollaire 5.3.13.— (Situation générique standard sur un anneau commutatif k)

On se place sous les hypothèses de (5.3.11). Soit Σ une partie de 𝔖_{n} telle que l’application

\begin{matrix}Σ & → [n] \\ σ & ↦ σ(n) \end{matrix}

soit surjective. Alors, avec des notations et dans un sens évidentes, on a

a)  pgcd_{σ∈Σ} c_{ν} (\underline{f}_{σ}) = 1,
b)  pgcd_{σ∈Σ} ^{a}Θ_{ν} (\underline{f}_{σ}) = ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n})

dans A .

Preuve : Une fois connues les assertions de (5.3.11), il suffit de paraphraser la preuve de ([J5] 3.10.16 (ii)).

5.3.14 Restant pour le moment en situation générique standard sur un anneau commutatif k, il peut arriver, pour certaines valeurs des suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}) et de l’entier ν < min_{i}(d_{i}), que le polynôme ^{a}Θ_{ν} (\underline{f}) ait même degré total (par rapport à l’ensemble des coefficients de tous les f_{i}) que ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}). Dans ce cas, utilisant (5.3.8) et la fin de (5.3.9), on voit que

aΘ_{ν} (\underline{f}) = ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}).

De telles situations se rencontrent surtout dans le cas isotrope, où m_{i} = 1 pour tout i ∈ [n]. Ainsi, pour n = 3 et m_{1} = m_{2} = m_{3} = 1, une liste exhaustive en est donnée ([J5] 3.10.22) à permutation des indices près par :

a)  d_{1} = d_{2} = d_{3} = t  ν = t − 1, t − 2  (si t ≥ 2 pour le 2ème)
b)  (d_{1}, d_{2}, d_{3}) = (t, t, t + 1)  ν = t − 1
c) (d_{1}, d_{2}, d_{3}) = (t, t + 1, t + 1)  ν = t − 1.

Voici un autre cas où cela se produit.

Proposition 5.3.15.— En situation générique (standard) sur un anneau commutatif k, supposons que n = 4 et

\begin{aligned}\underline{m} & = (m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}) & = (1, 1, 1, d) \\ \underline{d} & = (d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}) & = (d, d, d, d), \end{aligned}

où d est un entier ≥ 2. Alors on a les égalités

\begin{aligned}^{a}Θ_{d−1}(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) & = ^{a}Θ_{d−2}(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) \\ & = ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) \end{aligned}

dans A = k[U_{iα}|1 ≤ i ≤ 4, deg_{a}(X^{α}) = d].

Preuve : Avec les notations de (1.1), on a : δ = 3d − 3,

χ := \frac{m_{1}m_{2}m_{3}m_{4}}{pgcd(m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4})} = d,

deg tot ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) = \frac{∑_{i=1}^{4} d_{1} ⋯ d̂_{i} ⋯ d_{4}}{χ} = 4d^{2}.

Soit 0 ≤ ν < d. Le degré total de ^{a}Θ_{ν} (\underline{f}) est

4| Nonrep (\underline{d} ; δ − ν)| + | Rep (\underline{d} ; δ − ν)| .

On a

Nonrep (\underline{d} ; δ − ν)

= {(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) ∈ N^{4}| ∑_{i=1}^{4} α_{i} = δ − ν et 0 ≤ α_{1}, α_{2}, α_{3} ≤ d − 1, α_{4} = 0}.

Posant β_{i} = d − 1 − α_{i} (1 ≤ i ≤ 3), on voit que

Nonrep (\underline{d} ; δ − ν)
≃ {(β_{1}, β_{2}, β_{3}) ∈ N^{3}|β_{1} + β_{2} + β_{3} = ν et 0 ≤ β_{1}, β_{2}, β_{3} ≤ d − 1}
= Mon (3 ; ν),

la dernière égalité provenant de ce que, par hypothèse, ν < d. Par suite,

(5.3.16)  | Nonrep (\underline{d} ; δ − ν)| = ( \begin{matrix}ν + 2 \\ 2 \end{matrix} )  (ν < d)

Dans la suite, pour tout t ∈ N, on note Mon (3 ; t) l’ensemble des monômes de degré t (pour la graduation usuelle deg (X_{i}) = 1) en les variables X_{1}, X_{2}, X_{3}.

Lorsque ν = d − 1, on a : δ − ν = 2d − 2. Il est clair que Dod (\underline{d} ; 2d − 2) = ϕ, d’où

Rep (\underline{d} ; 2d − 2)

= X_{1}^{d} Mon (3 ; d−2) ∐ X_{2}^{d} Mon (3 ; d−2) ∐ X_{3}^{d} Mon (3 ; d−2) ∐ X_{4} Mon (3 ; d−2),

et par suite

| Rep (\underline{d} ; 2d − 2)| = 4 ( \begin{matrix}d \\ 2 \end{matrix} ) .

De même, pour ν = d − 2, donc δ − ν = 2d − 1, l’égalité Dod (\underline{d} ; 2d − 1) = ∅ montre que

Rep (\underline{d} ; 2d − 1)

= X_{1}^{d} Mon (3 ; d−1) ∐ X_{2}^{d} Mon (3 ; d−1) ∐ X_{3}^{d} Mon (3 ; d−1) ∐ X_{4} Mon (3 ; d−1),

et par suite

| Rep (\underline{d} ; 2d − 1)| = 4 ( \begin{matrix}d + 1 \\ 2 \end{matrix} ) .

Comparant avec (5.3.16), on en déduit que, pour ν = d − 1, d − 2, on a

deg tot ^{a}Θ_{ν} (\underline{f}) = 4 ( \begin{matrix}d \\ 2 \end{matrix} ) + 4 ( \begin{matrix}d + 1 \\ 2 \end{matrix} ) = 4d^{2}
= deg tot ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}).

D’où la conclusion en utilisant (5.3.14).

5.3.17 L’intérêt de la proposition 5.3.15 provient des considérations géométriques suivantes.

Soient n un entier ≥ 1 et k un corps, disons algébriquement clos. Supposons donnés n + 1 polynômes f_{i} ∈ k[X_{1}, ⋯, X_{n}] (1 ≤ i ≤ n + 1) homogènes de même degré d ≥ 1 (pour la graduation usuelle deg (X_{j}) = 1 pour tout j ∈ [n]). Lorsque les f_{i} (i ∈ [n + 1]) n’ont aucun zéro commun dans k^{n} \ 0, ils définissent un morphisme de k-schémas

\begin{matrix}φ : P_{k}^{n−1} & → P_{k}^{n} \\ (x_{1}, ⋯, x_{n})^{−} & ↦ (f_{1}(\underline{x}), f_{2}(\underline{x}), ⋯, f_{n+1}(\underline{x}))^{−} \end{matrix}

dont on note Z l’image schématique, qui est donc un sous-schéma fermé et intègre de P_{k}^{n}. De plus, on a Z ≠ P_{k}^{n} pour des raisons de dimension.

Soit (t_{1}, t_{2}, ⋯, t_{n+1}) ∈ k^{n+1} \ 0. Le point ξ := (t_{1}, t_{2}, ⋯, t_{n+1})^{−} de P_{k}^{n} appartient à Z si et seulement s’il existe (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ∈ k^{n} \ 0 et x_{n+1} ∈ k \ 0 tels que

(5.3.18)  f_{i}(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) − t_{i}x_{n+1} = 0 pour tout i ∈ [n + 1].

En fait, toute suite (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}, x_{n+1}) ∈ k^{n+1} \ 0 et satisfaisant aux égalités (5.3.18) est telle que (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ≠ 0, et x_{n+1} ≠ 0. Montrons-le. Si (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) = 0, il résulte de (5.3.18) que t_{i}x_{n+1} = 0 pour tout i, donc x_{n+1} = 0 puisque l’un des t_{i} n’est pas nul. Si x_{n+1} = 0, les égalités (5.3.18) s’écrivent f_{i}(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) = 0 et impliquent (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) = 0 d’après l’hypothèse faite sur les f_{i}.

Affectant les indéterminées X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}, X_{n+1} des poids m_{1} = m_{2} = ⋯ = m_{n} = 1 et m_{n+1} = d, de sorte que les polynômes

f_{i}(X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}) − T_{i}X_{n+1} ∈ k[T_{1}, ⋯, T_{n+1}][X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]

deviennent isobares de poids d en les X_{i}, posons

h(T_{1}, ⋯, T_{n+1}) := ^{a}Res(f_{1} − T_{1}X_{n+1}, ⋯, f_{n+1} − T_{n+1}X_{n+1}) ∈ k[T_{1}, T_{2}, ⋯, T_{n+1}].

Avec cette notation, la discussion qui précède montre que, ensemblistement,

Z = {(t_{1}, t_{2}, ⋯, t_{n+1})^{−} ∈ P_{k}^{n}|h(t_{1}, t_{2}, ⋯, t_{n+1}) = 0}.

Bien entendu, cela suggère que le polynôme h est homogène par rapport à l’ensemble des variables T_{1}, T_{2}, ⋯, T_{n+1} affectés du degré 1, ce que nous allons vérifier. D’après ([J3] 6.3.9.4 d) (voir Errata), en situation générique standard définie par deux suites (m_{1}, m_{2}, ⋯, m_{n}) et (d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{n}), le résultant anisotrope devient isobare de poids

\frac{d_{1}d_{2} ⋯ d_{n}}{χm_{n}}

lorsqu’on affecte chaque U_{iα} du poids α_{n}. Dans la situation spécialisée qui nous intéresse, l’entier n est remplacé par n + 1, et le seul monôme divisible par X_{n+1} du support de f_{i} −T_{i}X_{n+1} est X_{n+1}, affecté du coefficient −T_{i}. Par suite, le polynôme h est homogène de degré

\frac{d_{1}d_{2} ⋯ d_{n+1}}{χm_{n+1}} = \frac{d^{n+1}}{d × d} = d^{n−1}.

L’hypersurface Y : h = 0 de P_{k}^{n} est donc de degré d^{n−1} et telle que Z = Y^{réd}, donc dim (Z) = n − 1.

Par ailleurs, notant D le degré du morphisme φ, bien défini par ce qui précède, une application des théorèmes de Bertini que nous allons expliciter montre que

(5.3.19)  deg (Z) = d^{n−1}/D.

Il en résulte que h est la puissance Dème d’un polynôme irréductible H de degré (d^{n−1})/D.

Montrons (5.3.19). Etant données n − 1 formes linéaires générales ℓ_{1}, ℓ_{2}, ⋯, ℓ_{n−1}, soient

ℓ_{j} = ∑_{i=1}^{n+1} u_{ji}T_{i},

posons Δ = V (ℓ_{1}, ℓ_{2}, ⋯, ℓ_{n−1}) ⊂ P_{k}^{n}. Par Bertini, le schéma Z ∩ Δ est fini et réduit, et le schéma φ^{−1}(Z ∩ Δ) est fini et localement libre de degré D sur Z ∩ Δ. Par ailleurs, il résulte du théorème de Bezout que

φ^{−1}(Z ∩ Δ) = V (∑_{i=1}^{n+1} u_{ji}f_{i}|1 ≤ j ≤ n − 1)

a pour degré d^{n−1} dans P_{k}^{n−1} d’où, comme annoncé,

|Z ∩ Δ| = \frac{deg [φ^{−1}(Z ∩ Δ)]}{D} = \frac{d^{n−1}}{D} .

Lorsque φ est un plongement, on a D = 1, et l’équation de Z dans P_{k}^{n} est h = 0, avec, rappelons-le,

h(T_{1}, T_{2}, ⋯, T_{n+1}) = ^{a}Res(f_{1} − T_{1}X_{n+1}, ⋯, f_{n+1} − T_{n+1}X_{n+1}).

En particulier, lorsque n = 3 et φ est un plongement la proposition (5.3.15) fournit explicitement h comme spécialisation d’un polynôme à coefficients dans Z.

5.3.20 Un autre cas, cette fois-ci seulement semi-standard, où l’on peut, grâce aux considérations de (5.3.9), donner une expression polynomiale explicite pour le résultant anisotrope est le suivant.

On prend n = 4 et, étant donné un entier d ≥ 2, on prend pour suites

\begin{aligned}\underline{m} & = (1, 1, 1, d − 1) \\ \underline{d} & = (d, d − 1, d − 1, d − 1). \end{aligned}

Dans cette situation, on a

δ = 3d − 5 et χ := \frac{m_{1}m_{2}m_{3}m_{4}}{pgcd(m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4})} = d − 1.

Il est immédiat que les conditions (H_{1}), (H_{2}), (H_{3}) rappelées en 2.2.B) sont réalisées. En outre, pour toute suite (i, j, s) d’entiers compris entre 1 et 4, on a

d_{s} ∈ ppcm(m_{i}, m_{j}) + ∑_{1≤ℓ≤4} Nm_{ℓ}.

Par suite ([J3] 6.3.10.8 et 6.3.10.10), le résultant en situation générique sur Z est absolument irréductible, et on peut le normaliser de sorte que

aRes (X_{1}^{d}, X_{2}^{d−1}, X_{3}^{d−1}, X_{4}) = 1 dans Z.

Pour tout anneau commutatif k, posant ^{a}Res := _{Z}^{a}Res, on a, en situation générique sur k,

A := H𝔐^{0}(B)_{0} = (^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}))

dans A. Enfin, le degré total du résultant est

deg tot ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) = \frac{(d − 1)^{3} + 3d(d − 1)^{2}}{χ}
= (d − 1)(4d − 1).

D’après (5.3.9), pour tout ν < min_{i}(d_{i}) = d − 1, l’élément ^{a}Θ_{ν} (\underline{f}) est une forme d’inertie de degré 0 pour l’idéal (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) de C, donc il existe un (unique) c_{ν} (\underline{f}) ∈ A tel que

aΘ_{ν} (\underline{f}) = c_{ν} (\underline{f}) ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4})

dans A. Nous allons montrer que

deg tot ^{a}Θ_{d−2} (\underline{f}) = (d − 1)(4d − 1).

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R2 80

Il en résultera que c_{ν} (\underline{f}) ∈ k, d’où c_{ν} (\underline{f}) = 1 par spécialisation f_{i} ↦ X_{i}^{d_{i}/m_{i}} (utiliser (5.3.8)). D’où l’égalité

(5.3.21)  ^{a}Θ_{d−2} (\underline{f}) = ^{a}Res (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) dans A .

Vérifions le. Par définition de ^{a}Θ_{d−2} (\underline{f}), on a

(5.3.22)  deg tot ^{a}Θ_{d−2} (\underline{f}) = 4| Nonrep (\underline{d} ; 2d − 3)| + | Rep (\underline{d} ; 2d − 3)|.

Explicitons le deuxième membre. Tout d’abord, Nonrep (\underline{d} ; 2d − 3)

= \{ (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) ∈ N^{4} | \begin{matrix}α_{1} + α_{2} + α_{3} + (d − 1)α_{4} = 2d − 3 \\ α_{1} ≤ d − 1 ; α_{2}, α_{3} ≤ d − 2 ; α_{4} = 0 \end{matrix} \} ,

soit, par la substitution β_{1} = d − 1 − α_{1}, β_{2} = d − 2 − α_{2}, β_{3} = d − 2 − α_{3},

\begin{matrix}≃ \{(β_{1}, β_{2}, β_{3}) ∈ N^{3}|β_{1} + β_{2} + β_{3} = d − 2 ; β_{1} ≤ d − 1 ; β_{2} ≤ d − 2 ; β_{3} ≤ d − 2\} \\ = Mon (3 ; d − 2). \end{matrix}

D’où

(5.3.23)  | Nonrep (\underline{d} ; 2d − 3)| = ( \begin{matrix}d \\ 2 \end{matrix} )

Par ailleurs, il est clair que Dod (\underline{d} ; 2d − 3) = ∅, d’où Rep (\underline{d} ; 2d − 3)

= X_{1}^{d} Mon (3 ; d−3) ∐ X_{2}^{d−1} Mon (3 ; d−2) ∐ X_{3}^{d−1} Mon (3 ; d−2) ∐ X_{4} Mon (3 ; d−2).

Par suite,

(5.3.24)  | Rep (\underline{d} ; 2d − 3)| = ( \begin{matrix}d − 1 \\ 2 \end{matrix} ) + 3 ( \begin{matrix}d \\ 2 \end{matrix} )

Par comparaison de (5.3.22), (5.3.23) et (5.3.24), on en déduit bien que

\begin{aligned}deg tot ^{a}Θ_{d−2} (\underline{f}) & = 7 ( \begin{matrix}d \\ 2 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}d − 1 \\ 2 \end{matrix} ) \\ & = \frac{d − 1}{2}(7d + (d − 2)) = (d − 1)(4d − 1) \end{aligned}

comme annoncé.

5.3.25 Un exemple d’application de (5.3.21) est le suivant. Soient k un corps algébriquement clos, d un entier ≥ 2, et f, g, h ∈ k[X, Y, Z] trois polynômes homogènes (au sens usuel) de degré d de la forme

\{ \begin{matrix}f & = uφ + ZF \\ g & = vφ + ZG \\ h & = wφ + ZH , \end{matrix}

avec φ ∈ k[X, Y]_{d}, F, G, H ∈ k[X, Y, Z]_{d−1} et u, v, w ∈ k. Alors (f, g, h) ⊂ (Z, φ) dans k[X, Y, Z) et les courbes

Γ_{f} : f = 0, Γ_{g} : g = 0, Γ_{h} : h = 0

ont en commun à l’infini

- les (x, y, 0)^{−} tels que φ(x, y) = 0 si (u, v, w) ≠ (0, 0, 0)

- la droite à l’infini si u = v = w = 0.

Lorsque (u, v, w) ≠ (0, 0, 0), on peut chercher des conditions nécessaires, et dans une certaine mesure suffisantes, pour que les courbes Γ_{f}, Γ_{g}, Γ_{h} aient en commun un point “à distance finie” (x_{0}, y_{0}, z_{0})^{−}, autrement dit tel que z_{0} ≠ 0. Si tel est le cas, posant t_{0} := \frac{φ(x_{0},y_{0})}{z_{0}}, le quadruplet (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) vérifie le système

\{ \begin{matrix}φ(x_{0}, y_{0}) − t_{0}z_{0} = 0 \\ F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + ut_{0} = 0 \\ G(x_{0}, y_{0}, z_{0}) + vt_{0} = 0 \\ H(x_{0}, y_{0}, z_{0}) + wt_{0} = 0 \end{matrix}

dans k^{4}, et, bien sûr, (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0}) ≠ 0 puisque (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ≠ 0. Munissons l’indéterminée T du poids d − 1 et, comme de juste, X, Y, Z du poids 1. Avec ces poids, le système précédent peut s’interpréter en disant que (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})^{−} est une solution du système

(I)  \{ \begin{matrix}φ(x, y) − tz = 0 \\ F (x, y, z) + ut = 0 \\ G(x, y, z) + vt = 0 \\ H(x, y, z) + wt = 0 \end{matrix}

dans ^{a}P_{k}^{3}(x, y, z, t). Par suite, si Γ_{f}, Γ_{g}, Γ_{h} ont un point commun à distance finie, on a l’égalité

aRes (φ − T Z, F + uT, G + vT, H + wT) = 0 dans k,

soit, d’après (5.3.21)

(5.3.26)  ^{a}Θ_{d−2} (φ − T Z, F + uT, G + vT, H + wT) = 0

dans k, où le premier membre est un polynôme explicite à coefficients dans Z en u, v, w et les coefficients des polynômes F, G, H.

Pour préciser dans quelle mesure (5.3.26) est une condition suffisante pour que Γ_{f}, Γ_{g}, Γ_{h} aient un point commun à distance finie, introduisons le système

(II)  \{ \begin{matrix}φ(x, y) = 0 \\ F (x, y, 0) + ut = 0 \\ G(x, y, 0) + vt = 0 \\ H(x, y, 0) + wt = 0 \end{matrix}

dans ^{a}P_{k}^{2}(x, y, t) déduit de (I) par “spécialisation z ↦ 0”.

Avec ces notations, on peut formuler l’énoncé suivant.

Proposition 5.3.27.— Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) On a ^{a}Θ_{d−2} (φ − T Z, F + uT, G + vT, H + wT) = 0 dans k.

(ii) Le système (I) a une solution dans ^{a}P_{k}^{3}(x, y, z, t).

(iii) L’une des condition suivantes est réalisée.

a) Les courbes Γ_{f}, Γ_{g}, Γ_{h} ont un point en commun à distance finie.

b) Le système (II) a une solution dans ^{a}P_{k}^{2}(x, y, t).

Preuve : L’équivalence de (i) et (ii) résulte de (5.3.21). Que (iii) a) implique (ii) résulte de la discussion précédente. Si (x_{0}, y_{0}, t_{0})^{−} est une solution de (II) dans^{a}P_{k}^{2}(x, y, t) alors (x_{0}, y_{0}, 0, t_{0})^{−} est une solution de (I) dans ^{a}P_{k}^{3}(x, y, z, t), d’où (iii) b) ⇒ (ii). Montrons (ii) ⇒ (iii). Soit (x_{0}, y_{0}, z_{0}, t_{0})^{−} une solution de (I) dans ^{a}P_{k}^{3}(x, y, z, t). Si z_{0} = 0, il est clair que (x_{0}, y_{0}, t_{0})^{−} est une solution de (II) dans ^{a}P_{k}^{2}(x, y, t), d’où (iii) b). Si z_{0} ≠ 0, on voit aussitôt (multiplier les deux membres des 3 dernières équations de (I) par z, et tenir compte de la première) que (x_{0}, y_{0}, z_{0})^{−} est un point commun à distance finie pour Γ_{f}, Γ_{g}, Γ_{h}, d’où (iii) a).

Corollaire 5.3.28.— Lorsque le système (II) n’a pas de solution dans ^{a}P_{k}^{2}(x, y, t), la condition

aΘ_{d−2} (φ − T Z, F + uT, G + vT, H + wT) = 0

est nécessaire et suffisante pour que les courbes Γ_{f}, Γ_{g}, Γ_{h}aient un point commun à distance finie dans P_{k}^{2}.

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R2 83

Un exemple simple de telles considérations est le suivant, dans lequel le résultant anisotrope est un résultant ordinaire.

Soient k un corps algébriquement clos, de caractéristique ≠ 2 pour simplifier, et

\begin{aligned}C_{u} : & f_{u} := u_{0}(x^{2} + y^{2}) & + & z(u_{1}x + u_{2}y + u_{3}z) & = 0 \\ C_{v} : & f_{v} := v_{0}(x^{2} + y^{2}) & + & z(v_{1}x + v_{2}y + v_{3}z) & = 0 \\ C_{w} : & f_{w} := w_{0}(x^{2} + y^{2}) & + & z(w_{1}x + w_{2}y + w_{3}z) & = 0 \end{aligned}

les équations de trois “cercles-droites” dans P_{k}^{2}.

Posons

ℓ_{u} := u_{1}X + u_{2}Y + u_{3}Z + u_{0}T ∈ k[X, Y, Z, T]_{1},

et définissons de manière analogue ℓ_{v}, ℓ_{w}. Notons Δ_{0}, Δ_{1}, Δ_{2} et Δ_{3} les déterminants définis par l’égalité

| \begin{matrix}X_{0} & X_{1} & X_{2} & X_{3} \\ u_{0} & u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{0} & v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{0} & w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix} | = X_{0}Δ_{0} + X_{1}Δ_{1} + X_{2}Δ_{2} + X_{3}Δ_{3}

dans k[X_{0}, X_{1}, X_{2}, X_{3}]. Avec ces notations, on a ([J3] 5.8, 5.4.4)

Res (X^{2} + Y^{2} − T Z, ℓ_{u}, ℓ_{v}, ℓ_{w})

= Res (ℓ_{u}, ℓ_{v}, ℓ_{w}, X^{2} + Y^{2} − T Z)  (le premier degré est pair)
= Δ_{1}^{2} + Δ_{2}^{2} − Δ_{0}Δ_{3}.

D’après (5.3.27), la condition Δ_{1}^{2} + Δ_{2}^{2} − Δ_{0}Δ_{3} = 0 exprime que - ou bien les “cercles-droites” C_{u}, C_{v}, C_{w} ont un point commun à distance finie,

- ou bien le système

(S)  \{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} & = 0 \\ u_{1}x + u_{2}y + u_{0}t & = 0 \\ v_{1}x + v_{2}y + v_{0}t & = 0 \\ w_{1}x + w_{2}y + w_{0}t & = 0 \end{matrix}

a une solution dans k^{3} \ 0.

Lorsque, comme il se doit, on suppose (u_{o}, v_{0}, w_{0}) ≠ (0, 0, 0) alors une solution (x_{o}, y_{0}, t_{0}) ≠ 0 de (S) est telle que (x_{0}, y_{0}) ≠ 0, donc il existe λ ∈ k^{⋆} tel que (x_{0}, y_{0}) = λ(i, 1) ou λ(−i, 1) avec i^{2} = −1.

Lorsque, par exemple, les courbes C_{u}, C_{v}, C_{w} sont de “vrais cercles”, on se ramène au cas où u_{0} = v_{0} = w_{0} = 1 et il résulte de (S) que,

\{ \begin{matrix}soit u_{1}i + u_{2} = v_{1}i + v_{2} = w_{1}i + w_{2} \\ soit − u_{1}i + u_{2} = −v_{1}i + v_{2} = −w_{1}i + w_{2} . \end{matrix}

Lorsque k = C et les équations sont à coefficients réels avec u_{0} = v_{0} = w_{0} = 1, le système (S) ne peut avoir de solution que si u_{1} = v_{1} = w_{1} et u_{2} = v_{2} = w_{2}, autrement dit que si les cercles C_{u}, C_{v}, C_{w} sont concentriques.

Pour trois cercles réels non concentriques, la condition Δ_{1}^{2} + Δ_{2}^{2} = Δ_{0}Δ_{3} équivaut donc à l’existence d’un point commun à distance finie.

5.3.29 Nous allons préciser ce qui précède en montrant que, en général, le polynôme aRes (φ − T Z, F + uT, G + vT, H + wT) est irréductible. Pour cela, nous allons nous placer dans une situation un peu plus générale, dans laquelle nous allons développer une théorie d’élimination réduite.

Soient n un entier ≥ 1, X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n} des indéterminées de degrés m_{i} = 1(i ∈ [n]), k un anneau commutatif et φ ∈ k[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]_{d} un polynôme homogène de degré d ≥ 2. Introduisons de nouvelles indéterminées V_{i} (1 ≤ i ≤ n) et U_{iα} (1 ≤ i ≤ n, |α| = d − 1), et posons

A = k[U_{iα}(i ∈ [n], |α| = d − 1) ; V_{1}, V_{2}, ⋯, V_{n}]
C = A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]  (deg X_{i} = 1 pour tout i)
f_{i} = X_{n} ( ∑_{|α|=d−1} U_{iα}X^{α}) + V_{i}φ

g_{i} = ∑_{|α|=d−1} U_{iα}X^{α}
B = C/(f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}) .

Dans P_{A}^{n−1} = Proj (C), on a l’inclusion schématique

V ((X_{n}, φ)) ⊂ V ((f_{1}, ⋯, f_{n})) = Proj (B),

et on se propose de déterminer l’image fermée du morphisme de projection canonique

W := Proj (B) \ V (X_{n}, φ) → spec (A)

définie par l’idéal

𝔟 := [H_{(X_{n},φ)}^{0}(B)]_{0}.

dans A.

Remarquons tout d’abord qu’on a un isomorphisme de k[U_{iα}(i ∈ [n], |α| = d − 1)] [X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n}]-algèbres

\begin{matrix}B_{φ} & →^{∼} k[(U_{iα})(i ∈ [n], |α| = d − 1)][X_{1}, ⋯, X_{n}]_{φ} \\ V_{i} & ↦ −φ^{−1}X_{n}g_{i} (i ∈ [n]) \end{matrix}

qui montre que X_{n} ne divise pas zéro dans B_{φ}, donc que B_{φ} ⊂ B_{X_{n}φ}. Il en résulte

(5.3.30)  \begin{aligned}H_{(X_{n},φ)}^{0}(B) : & = Ker (can : B → B_{X_{n}} × B_{φ}) \\ & = H_{X_{n}}^{0}(B) \end{aligned}

dans B, et en particulier

(5.3.31)  𝔟 = H_{X_{n}}^{0}(B)_{0} .

Introduisons maintenant une nouvelle indéterminée X_{n+1} affectée du poids m_{n+1} := d − 1, et posons

\begin{aligned}F_{i} & := ( ∑_{{|α|=d−1 \atop α∈N^{n}}} U_{iα}X^{α}) + V_{i}X_{n+1} = g_{i} + V_{i}X_{n+1} (i ∈ [n]) \\ ψ & := φ − X_{n}X_{n+1} \end{aligned}

dans A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]_{d−1} et k[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]_{d} respectivement, ainsi que

et  \begin{aligned}D : & = A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]/(ψ, F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n}) \\ M & = (X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}) ⊂ A[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]. \end{aligned}

Les morphismes de A[X_{1}, ⋯, X_{n}]-algèbres

λ : D_{X_{n}} →  B_{X_{n}}
X_{n+1} ↦  φ/X_{n}
μ : B_{X_{n}} → D_{X_{n}} canonique

(dans D_{X_{n}}, on a : X_{n+1} = φ/X_{n} car ψ = 0) sont inverses l’un de l’autre. En particulier, on a

(5.3.32)  𝔟 = H_{X_{n}}^{0}(D)_{0} .

Les polynômes F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n} ∈ A[X_{1}, ⋯, X_{n}, X_{n+1}] sont génériques de leurs poids (= d−1) sur k ; par suite (2.3.3), la suite (F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n}) est régulière dans A[X_{1}, ⋯, X_{n+1}].

Par ailleurs, on a pour tout i  ∈  [n] un isomorphisme de

k[V_{1}, ⋯, V_{n}, X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]-algèbres

(5.3.33)  [A[X_{1}, ⋯, X_{n+1}]/(F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n})]_{X_{i}}

→^{∼} k[U_{jα}|X^{α} ≠ X_{i}^{d−1} ; V_{1}, V_{2}, ⋯, V_{n}][X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]_{X_{i}}

U_{jα} ↦ \{ \begin{matrix}U_{jα}  si  X^{α} ≠ X_{i}^{d−1} \\ −X_{i}^{1−d} (V_{j}X_{n+1} + ∑_{X^{α}≠X_{i}^{d−1}} U_{jα}X^{α}) si X^{α} = X_{i}^{d−1} \end{matrix}

et de même un isomorphisme de k[U_{iα}|i ∈ [n], |α| = d − 1][X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]-algèbres

(5.3.34) [A[X_{1}, ⋯, X_{n+1}]/(F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n})]_{X_{n+1}}

→^{∼} k[U_{iα}|i ∈ [n], |α| = d − 1][X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n+1}]_{X_{n+1}}

V_{i} ↦ −g_{i}/X_{n+1} (i ∈ [n]).

Au vu de ces isomorphimes, le lemme de Dedekind-Mertens montre que ψ := φ − X_{n}X_{n+1} ne divise pas zéro dans les anneaux [A[X_{1}, ⋯, X_{n+1}]/(F_{1}, ⋯, F_{n})]_{X_{i}} (1 ≤ i ≤ n + 1). On en déduit d’abord que (F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n}, ψ) est régulière dans A[X_{1}, ⋯, X_{n+1}] en dehors de V (M), puis régulière dans n’importe quel ordre d’après (1.5.1).

Supposons que (X_{n}, φ) soit une suite régulière de k[X_{1}, ⋯, X_{n}] autrement dit que φ̄ := φ(X_{1}, ⋯, X_{n−1}, 0) ne divise pas zéro dans k[X_{1}, X_{2}, ⋯, X_{n−1}]. Alors, pour raison d’homogénéité, la suite (φ, X_{n}) est aussi régulière, donc φ ne divise pas zéro dans k[X_{1}, ⋯, X_{n}]. De plus, nous allons voir que, pour tout i ∈ [n + 1], l’élément X_{i} n’est pas diviseur de zéro dans

R := k[X_{1}, ⋯, X_{n+1}]/(φ − X_{n}X_{n+1}).

Plus précisément, la suite (X_{i}, φ−X_{n}X_{n+1}) est (commutativement) régulière, ou encore la classe de φ − X_{n}X_{n+1} dans k[X_{1}, ⋯, X̂_{i}, ⋯, X_{n+1}] par X_{i} ↦ 0 n’est pas diviseur de 0 dans cet anneau. Si i ≠ n, n + 1, c’est une conséquence immédiate du lemme de Dedekind-Mertens ; pour i = n (resp. n + 1), cela résulte de ce que φ̄ (resp. φ) n’est pas diviseur de zéro dans k[X_{1}, ⋯, X_{n−1}] (resp. k[X_{1}, ⋯, X_{n}]).

Sous l’hypothèse que φ̄ ne divise pas zéro dans k[X_{1}, ⋯, X_{n−1}], il résulte de ce qui précède et des isomorphismes (5.3.33) et (5.3.34) que, pour tout (i, j) ∈ [n + 1]^{2}, l’élément X_{i} ne divise pas 0 dans D_{X_{j}} d’où les égalités

(5.3.35)  H_{X_{i}}^{0}(D) = H𝔐^{0}(D)  (i ∈ [n + 1])

dans ce cas.

Après ces considérations, nous sommes en mesure de prouver l’assertion suivante.

Proposition 5.3.36.— Sous les hypothèses préliminaires de (5.3.29), les assertions suivantes sont vérifiées.

(i) Lorsque φ̄ := φ(X_{1}, ⋯, X_{n−1}, 0) ne divise pas zéro dans k[X_{1}, ⋯, X_{n−1}], on a l’égalité

𝔟 := H_{(X_{n},φ)}^{0}(B)_{0} = H𝔐^{0}(D)_{0}

dans A et l’idéal 𝔟 de A n’est pas nilpotent.

(ii) Lorsque l’anneau k est intègre et φ n’est pas divisible par X_{n} dans k[X_{1}, ⋯, X_{n}], l’ idéal 𝔟 de A est premier.

(iii) Lorsque l’anneau k est factoriel et X_{n} ne divise pas φ dans k[X_{1}, ⋯, X_{n}], alors l’idéal 𝔟 est (premier et) engendré par

aRes (ψ, F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n})

dans A.

Preuve : La première partie de l’assertion (i) est conséquence de (5.3.32) et (5.3.35). Pour la deuxième, il suffit d’exhiber une fibre géométrique vide du morphisme de projection canonique Proj (D) → Spec (A). Comme φ̄ n’est pas nilpotent, on peut, quitte à remplacer k par la clôture algébrique de l’un de ses corps résiduels, supposer que k est un corps algébriquement clos. Alors, comme φ̄ ≠ 0, on a a fortiori φ ≠ 0. Dans ce cas, comme φ est homogène, il n’est pas divisible par X_{n} − 1, et il résulte du théorème des zéros de Hilbert qu’il existe (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n−1}) ∈ k^{n−1} tel que

φ(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n−1}, 1) ≠ 0 .

Alors la spécialisation F_{i} ↦ (X_{i} − x_{i}X_{n})^{d−1}(1 ≤ i ≤ n − 1) et F_{n} ↦ X_{n+1} définit un point rationnel de spec(A) dont la fibre dans Proj(D) est vide : si ξ = (y_{1}, y_{2}, ⋯, y_{n+1})^{−} ∈^{a} P_{k}^{n} appartient à F_{1} = F_{2} = ⋯ = F_{n} = 0, on a

y_{i} = x_{i}y_{n}(1 ≤ i ≤ n − 1) et y_{n+1} = 0 ,

donc en particulier y_{n} ≠ 0, et alors

ψ(y_{1}, ⋯, y_{n+1}) = φ(y_{n}) − y_{n}y_{n+1} = y_{n}^{d}φ(x_{1}, ⋯, x_{n−1}) ≠ 0

par hypothèse.

On peut aussi démontrer que 𝔟 n’est pas nilpotent sans recourir au théorème des zéros de Hilbert comme suit. D’après la première partie de (i), l’idéal 𝔟 a même racine que l’idéal engendré par

Res := Res(g_{1} + V_{1}X_{n+1}^{d−1}, ⋯, g_{n} + V_{n}X_{n+1}^{d−1}, φ − X_{n}X_{n+1}^{d−1}),

et il suffit d’exhiber une spécialisation non nilpotente de Res. Pour cela, on choisit n−1 formes linéaires génériques en (X_{1}, ⋯, X_{n})

ℓ_{i} := U_{i1}X_{1} + U_{i2}X_{2} + ⋯ + U_{in}X_{n},

et on fait la spécialisation

g_{i} + V_{i}X_{n+1}^{d−1} ↦ \{ \begin{matrix}ℓ_{i}^{d−1} & pour 1 ≤ i ≤ n − 1 \\ X_{n+1}^{d−1} & pour i = n . \end{matrix}

Alors Res se spécialise en

Res (ℓ_{1}^{d−1}, ℓ_{2}^{d−1}, ⋯, ℓ_{n−1}^{d−1}, X_{n+1}^{d−1}, φ − X_{n}X_{n+1}^{d−1})
= ± Res (ℓ_{1}, ℓ_{2}, ⋯, ℓ_{n−1}, φ)^{(d−1)^{n}}

en utilisant les propriétés de transformation usuelles du résultant ([J3] 5.7 à 5.10). Par ailleurs, on sait ([J3] 5.4.4) que notant Δ_{1}, Δ_{2}, ⋯, Δ_{n} ∈ k[U_{ij}|i ∈ [n − 1], j ∈ [n]] les mineurs définis par l’égalité

| \begin{matrix}T_{1} & T_{2} & ⋯ & T_{n} \\ U_{11} & U_{12} & ⋯ & U_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ U_{n−1,1} & U_{n−1,2} & ⋯ & U_{n−1,n} \end{matrix} | = T_{1}Δ_{1} + T_{2}Δ_{2} + ⋯ + T_{n}Δ_{n}

dans k[T_{1}, T_{2}, ⋯, T_{n}], on a

Res (ℓ_{1}, ℓ_{2}, ⋯, ℓ_{n−1}, φ) = φ(Δ_{1}, Δ_{2}, ⋯, Δ_{n})

dans k[U_{ij}|i ∈ [n − 1], j ∈ [n]]. Or les éléments Δ_{1}, Δ_{2}, ⋯, Δ_{n} sont algébriquement indépendants sur k ; comme φ n’est pas nilpotent dans k[X_{1}, ⋯, X_{n}] (φ̄ ne l’est pas !), le résultant Res (ℓ_{1}, ⋯, ℓ_{n−1}, φ) ne l’est pas non plus.

A titre d’illustration de la théorie de l’élimination, voici une preuve de l’indépendance algébrique de Δ_{1}, Δ_{2}, ⋯, Δ_{n} sur k. Introduisons une autre forme linéaire générique

ℓ_{n} = U_{n1}X_{1} + ⋯ + U_{nn}X_{n}.

Alors, posant R = k[U_{ij}|1 ≤ i, j ≤ n], S = R[X_{1}, ⋯, X_{n}]/(ℓ_{1}, ℓ_{2}, ⋯, ℓ_{n}), on a Res (ℓ_{1}, ℓ_{2}, ⋯, ℓ_{n}) = dét (U_{ij}) =: Δ, Δ_{i} = (−1)^{n−1}∂Δ/∂U_{ni} de sorte que ([J3] 6.4.3) on a un isomorphisme de R-algèbres N-graduées

S/H𝔐^{0}(S) →^{∼} Rees_{R/(Δ)}(Δ̄_{1}, ⋯, Δ̄_{n}) .
X_{i} ↦ Δ̄_{i}

Par ailleurs le morphisme de k-algèbres canonique

X_{i} ↦ X_{i} : k[X_{1}, ⋯, X_{n}] → S/H𝔐^{0}(S)

admet la rétraction X_{i} ↦ X_{i}, U_{ij} ↦ 0, donc est injectif. Par suite le morphisme composé

k[X_{1}, ⋯, X_{n}] → Rees_{R/(Δ)}(Δ̄_{1}, ⋯, Δ̄_{n})

est injectif. Pour des raisons d’homogénéité des Δ_{i} par rapport à l’ensemble des U_{ij}, on en conclut que les Δ̄_{i} sont algébriquement indépendants dans R/(Δ), et a fortiori les Δ_{i} algébriquement indépendants sur k dans k[U_{ij}|i ∈ [n − 1], j ∈ [n]].

Montrons (ii). Comme H_{(X_{n,}φ)}^{0}(B)_{0} = H_{X_{n}}^{0}(B)_{0} = H_{X_{n}}^{0}(D)_{0} par (5.3.30) et (5.3.32), il suffit de montrer que l’anneau D_{X_{n}} est intègre. Utilisant le lemme (5.3.37) ci-après, nous allons montrer que l’élément ψ = φ − X_{n}X_{n+1} de k[X_{1}, ⋯, X_{n+1}] est premier. Utilisant l’isomorphisme (5.3.33) avec i = n, on en déduira l’intégralité de D_{X_{n}} par extension polynomiale et localisation par X_{n}. Comme (X_{n}, φ) est par hypothèse une suite régulière de k[X_{1}, ⋯, X_{n}], le fait que ψ soit premier est le cas particulier, où a := −X_{n}, b := φ, T := X_{n+1}, S := k[X_{1}, ⋯, X_{n}], de l’énoncé facile suivant.

Lemme 5.3.37.— Soient S un anneau commutatif intègre et (a, b) une suite régulière de S. Alors l’élément aT + b de l’anneau de polynômes S[T] est premier.

Montrons-le. Comme (a, b) est régulière et le S-module S[T] est plat, il est clair que la suite (a, aT + b) de S[T] est régulière. D’autre part, comme a ne divise pas zéro dans S, il résulte du lemme de Dedekind − Mertens que aT + b ne divise pas non plus zéro dans S[T] ; appliquant le théorème 117 de [Kaplansky : Commutative rings], on en conclut, sans utiliser l’intégrité de S, que (aT + b, a) est aussi régulière. Par suite, a ne divise pas zéro dans S[T]/(aT + b), et le morphisme de localisation

S[T]/(aT + b) → [S[T]/(aT + b)]_{a}

est injectif. Le composant avec l’isomorphisme de S-algèbres canonique

\begin{matrix}[S[T]/(aT + b)]_{a} & →^{∼} S_{a}, \\ T & ↦ −\frac{b}{a} \end{matrix}

on en déduit un plongement S[T]/(aT + b) ⊂ S_{a}. Si maintenant S est intègre, il en est de même pour S_{a}, donc pour S[T]/(aT + b) qui en est un sous-anneau, d’où le lemme.

Montrons (iii). Par (i) et (ii), nous savons que 𝔟 est premier et non nul. Posant ici, pour simplifier,

R := ^{a}Res (ψ, F_{1}, F_{2}, ⋯, F_{n}),

le théorème principal de l’élimination implique que 𝔟 a même racine que (R) (d’après (i), on a 𝔟 = H𝔐^{0}(D)_{0}). Utilisant la factorialité de A, on conclut de tout ce qui précède que 𝔟 est engendré par un élément premier a de A (prendre pour a un diviseur premier de R), et que R est associé à une puissance convenable ℓ de a dans A :

(5.3.38)  R = ua^{ℓ}  (u ∈ A^{∗} = k^{∗}, ℓ ≥ 1) .

Nous allons montrer que ℓ = 1 en faisant une spécialisation convenable. Pour cela, observons tout d’abord que la condition (ii) de ([J3] 6.3.10.8) est satisfaite ; posant

R^{#} := Res (φ − X_{n}X_{n+1}^{d−1}, g_{1} + V_{1}X_{n+1}^{d−1}, ⋯, g_{n} + V_{n}X_{n+1}^{d−1}),

il résulte donc de ([J3] 6.3.10.7) que

R^{#} ∼ R^{\frac{m_{1}m_{2}···m_{n+1}}{pgcd(m_{1},···,m_{n+1})}} = R^{d−1}

dans A. D’où, utilisant (5.3.38),

(5.3.39)  R^{#} ∼ a^{ℓ(d−1)}  dans A.

Effectuons alors la spécialisation θ des coefficients définie par

g_{i} ↦ ḡ_{i} := g_{i}(X_{1}, ⋯, X_{n−1}, 0)  (1 ≤ i ≤ n − 1)
V_{i} ↦ 0  (1 ≤ i ≤ n − 1)
g_{n} ↦ V X_{n}^{d−1}  (V indéterminée) .

Par (5.3.39), on a

(5.3.40) θ(R^{#}) = Res (φ − X_{n}X_{n+1}^{d−1}, ḡ_{1}, ⋯, ḡ_{n−1}, V X_{n}^{d−1} + V_{n}X_{n+1}^{d−1}) ∼ θ(a)^{ℓ(d−1)}

dans l’anneau factoriel

A′ := k[(U_{iα})(i ∈ [n − 1], |α| = d − 1)][V, V_{n}].

Par ailleurs, la formule de Laplace ([J3] 5.10) implique que

Res (φ−X_{n}X_{n+1}^{d−1}, ḡ_{1}, ⋯, ḡ_{n−1}, V X_{n}^{d−1}+V_{n}X_{n+1}^{d−1}) = ± Res (ḡ_{1}, ⋯, ḡ_{n−1})^{d(d−1)}w^{(d−1)^{n−1}} ,

où, définissant c ∈ k par φ(0, ⋯, 0, X_{n}) = cX_{n}^{d},

\begin{aligned}w : & = Res(cX_{r}^{d} − X_{n}X_{n+1}^{d−1} , V X_{n}^{d−1} + V_{n}X_{n+1}^{d−1}) \\ & = V_{n}(V + cV_{n})^{d−1} \end{aligned}

par multiplicativité et changement de base ([J3] 5.12), Finalement

(5.3.41)  Res(φ − X_{n}X_{n+1}^{d−1} , ḡ_{1}, ⋯, ḡ_{n−1}, V X_{n}^{d−1} + V_{n}X_{n+1}^{d−1})

= ±Res(ḡ_{1}, ⋯, ḡ_{n−1})^{d(d−1)}V_{n}^{(d−1)^{n−1}}(V + cV_{n})^{(d−1)^{n}} .

Or les ḡ_{i} sont génériques de leurs degrés, donc Res(ḡ_{1}, ⋯, ḡ_{n−1}) est irréductible dans A′. Comparant (5.3.40) et (5.3.41), on en déduit que ℓ(d − 1) divise pgcd(d(d − 1), (d − 1)^{n−1}, (d − 1)^{n}) = d − 1, donc ℓ = 1 comme annoncé.

Références

[Br] A. Brill : Note über die Gleichung der auf einer Ebene abbildbaren Flächen, Math. Ann. 5 (1872) pp 401-403.

[Du] P. Dutton : Prime ideals attached to a module, Quart.J. Math. Oxford (2), 29 (1978), pp. 403-413.

[J1] J.P. Jouanolou : Singularités rationnelles du résultant, in Lecture Notes Springer 732 (1979) pp 183-214.

[J2] J.P. Jouanolou : Idéaux résultants, Adv. in Maths 37 (1980), pp.212-238.

[J3] J.P. Jouanolou : Le formalisme du résultant, Adv. in Maths 90 (1991) n^{∘} 2, pp.117-263.

[J4] J.P. Jouanolou : Aspects invariants de l’élimination, IRMA Strasbourg 1991, à paraître in Adv. in Maths.

[J5] J.P. Jouanolou : Formes d’inertie et résultant : un formulaire, IRMA Strasbourg 1992.

[J6] J.P. Jouanolou : Résultant et résidu de Grothendieck, IRMA Strasbourg 1992.

[No] D.G. Northcott : Finite free resolutions, Cambridge tracts in Maths 71 (1976).

N.B. Une liste essentiellement complète des textes classiques sur le résultant multivarié est donnée dans la bibliographie de [J3], [J4] et [J5].

Je remercie vivement les membres du groupe de calcul formel de l’Ecole Polytechnique, et plus particulièrement Marc GIUSTI, qui m’ont proposé de faire taper mon manuscrit par le secrétariat du Centre de Mathématiques de cette Ecole. Un grand merci aussi aux secrétaires qui ont accompli ce travail avec compétence et efficacité. Enfin, je suis extrêmement reconnaissant à Abdellah AL AMRANI qui a relu attentivement le texte, et m’a permis de corriger quelques incorrections et fautes “matérielles”.