ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
1998, ТОМ 4, ВЫПУСК 1, СТР. 245-302
А. Г. Карапетян
Аннотация
Посмотреть как HTML
Посмотреть как рисунок
Посмотреть в формате LaTeX
В работе рассматривается случайный тригонометрический полином
$T(x)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\xi_j \exp (ijx)$ ,
где
$\xi,\xi_j$ --- действительные независимые одинаково распределенные
случайные
величины с нулевыми средними, с положительными вторыми и
конечными третьими абсолютными моментами, и
доказывается теорема.
\begin{theorem}
Для любого $\varepsilon\in (0,1)$ и при
$n>(C(\xi))^{7654/\varepsilon^3}$
$$
\mathsf{Pr}
\biggl(\min_{x\in\mathbb{T}}
\biggl|\sum_{j=0}^{n-1} \xi_j \exp(ijx)\biggr| >
n^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}\biggr) \leq \frac{1}{n^{\varepsilon^2/62}},
$$
где константа $C(\xi)$ определяется в работе.
\end{theorem}
Для доказательства теоремы используется метод
нормального порядка и устанавливаются оценки вероятностей
событий $E_k$ , $k\in\mathbb{N}$ , $0<k<\frac{k_0}{2}$ ,
и их попарных пересечений, причем
события $E_k$ определяются случайными векторами $X$ :
\begin{multline*}
X=(\Re T(x_k),\ldots,\Re (T^{(r-1)}(x_k)/(in)^{r-1}),\\
\Im T(x_k),\ldots,\Im (T^{(r-1)}(x_k)/(in)^{r-1})),
\end{multline*}
где $r$ выбирается как натуральное число, такое что
$\frac{10}{\varepsilon}<r<\frac{11}{\varepsilon}$ для
заданного $\varepsilon$ , а $x_k=\frac{2\pi k}{k_0}$ ,
причем $k_0$ --- наибольшее простое,
не превосходящее $n^{1-\frac{\varepsilon}{20}}$ .
Для нахождения этих оценок предварительно выводятся неравенства
для многочленов, с помощью которых устанавливаются свойства
характеристических функций случайных векторов $X$ и их
попарных объединений.
| Главная страница | Редколлегия | Информация для авторов |
| Поиск | Содержание журнала | Объявления |
URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/98/981/98120t.htm
Изменения вносились 24 апреля 2000