SUR LES CONSEQUENCES D'UN THEOREME DE J. LIOUVILLE EN MATIERE DE POSSIBILITE ET DE L'IMPOSSIBILITE DE TROUVER EFFECTIVEMENT DES SOLUTIONS PARTICULIERES D'EQUATIONS DE RICCATI ET LINEAIRE DU SECOND ORDRE

Andrzej Kapcia

Abstract: Dans les travaux consacrés a "la méthode de l'intégrale particuliere", on introduit les solutions particulieres dépendant respectivement: de coefficients de l'équation de Riccati (1.1), de coefficients de l'équation linéaire et homogene du second ordre (1.2), et de certaines fonctions arbitraires $\mu_k$ $(k=1,\dots,6)$. Cette Note est consacrée aux théoremes qui disent, qu'il existe "continuum" de coefficients $a, b, c$ de l'équation (1.1), et respectivement il existe "continuum" de coefficients $f, g, h$ de l'équation (1.2), pour lesquels on ne peut pas trouver effectivement les fonctions $\mu_k$, et par le meme, on ne peut pas construire effectivement les solutions particulieres des équations consedérées. Dans les démonstrations des théoremes cités, on profit de l'équivalence des criteres de l'intégrabilité effective d'équtions (1.1) et (1.2) – plus tot démontrée – et du résultat de J. Liouville consacré a l'impossibilité d'obtenir effectivement la solution générale de l'équation spéciale de Riccati a l'aide de fonctions élémentaires. On donne aussi les classes d'équations (1.1) et (1.2) desquelles chacune comprend deux sous-classes séparables – l'une toujours effectivement intégrable et la deuxieme pour laquelle ceci est impossible.

Keywords: differential equation, linear, particular solution, effective integrability, general solution

Classification (MSC2000): 34A; 34L

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