Les Espaces $\calc{H}(\Omega)$ et le Calcul Symbolique de Sebasti\ ao e Silva

Fernando Manuel Sequeira

Abstract: Ce travail est une continuation d'un autre, du même auteur, intitulé ``Les algèbres $\calc{U}(\calc{F})$ et le calcul symbolique de Sebasti\ ao e Silva, publi'e dans la revue ``Portugaliae Mathematica. Dans ce second travail on décrit quelques propriétés des espaces $\calc{H}(\Omega)$ des fonctions holomorphes dans un ouvert $\Omega$ du plan complexe. Nous avons démontré: que leurs duals sont des espaces de Silva parfaits; qu'il y a (quand même $\infty$ n'appartient pas à $\Omega$) une correspondance biunivoque entre les applications linéaires continues de ces duals dans un espace localement convexe, séparé et semi-complet $\bfc{E}$ et certaines classes de fonctions holomorphes dans $\Omega$ et à valeurs dans $\bfc{E}$; qu'on peut définir une topologie dans l'espace de ces classes de fonctions le rendant isomorphe de $\calc{L}[\calc{H}(\Omega)',\bfc{E}]$ si celui-ci est muni de la topologie de la convergeance uniforme sur les parties bornées de $\calc{H}(\Omega)'$. Nous avons déduit encore quelques propriétés des applications linéaires continues des $\calc{H}(\Omega)$ dans un espace dénombrablement normé complet.
On présente ensuite des exemples d'application de ces résultats et du calcul symbo\-li\-que de Sebasti\ ao e Silva. En particulier on déduit un théorème d'echantillonage qu'on peut considérer une généralisation du théorème de Shannon et on établit une correspondance entre les systèmes analogiques et les systèmes discrets (utilisés dans la théorie des systèmes physiques).

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