Séminaires et Congrès - 6 - pages 193-212 < Séminaires et Congrès < 6

Geometry of Toric Varieties
Laurent Bonavero - Michel Brion (Ed.)
Séminaires et Congrès 6 (2002), xiv+272 pages

Producing good quotients by embedding into toric varieties
Jürgen Hausen
Séminaires et Congrès 6 (2002), 193-212
Download : PS file / PDF file

Résumé :
Construction de bons quotients par des plongements dans des variétés toriques
Soit T un tore algébrique opérant de façon effective dans une variété algébrique ${ \mathbb Q}$-factorielle X. Supposons que X vérifie la propriété A₂, c'est-à-dire : deux points quelconques de X ont un voisinage affine commun dans X. Nous démontrons le théorème de plongement suivant: Soient $U_{1}, \ldots , U_{r} \subset X$ des ouverts invariants par T admettant de bons quotients $U_{i} \to U_{i} /\!\!/ T$ tels que les $U_{i} /\!\!/ T$ vérifient la propriété A₂. Alors il existe un plongement fermé T-équivariant $X \hookrightarrow Z$ dans une variété torique Z où T opère comme sous-tore du grand tore, tel que chaque U_i est de la forme $U_{i} = W_{i} \cap X$ pour un ouvert torique $W_i\subset Z$ admettant un bon quotient $W_{i} \to W_{i} /\!\!/ T$. Ce résultat s'applique en particulier à la famille des ouverts $U \subset X$ qui sont maximaux pour l'inclusion saturée parmi tous les ouverts admettant un bon quotient qui vérifie A₂. Dans l'appendice à cet article, nous présentons des résultats généraux sur les plongements dans les variétés et les prévariétés toriques.

Mots clefs : Plongements dans des variétés toriques, bons quotients

Abstract:
Let an algebraic torus T act effectively on a ${ \mathbb Q}$-factorial algebraic variety X. Suppose that X has the A₂-property, that means any two points of X admit a common affine open neighbourhood in X. We prove the following embedding theorem: Let $U_{1}, \ldots , U_{r} \subset X$ be T-invariant open subsets with good quotients $U_{i} \to U_{i} /\!\!/ T$ such that the $U_{i} /\!\!/ T$ are A₂-varieties. Then there exists a T-equivariant closed embedding $X \hookrightarrow Z$ into a smooth toric variety Z on which T acts as a subtorus of the big torus such that each U_i is of the form $U_{i} = W_{i} \cap X$ with a toric open subset $W_i\subset Z$ admitting a good quotient $W_{i} \to W_{i} /\!\!/ T$. This result applies in particular to the family of open subsets $U \subset X$ that are maximal with respect to saturated inclusion among all open subsets admitting a good A₂-quotient space. In the appendix to this article we survey some general results on embeddings into toric varieties and prevarieties.

Key words: Embeddings into toric varieties, good quotients

Class. math. : 14E25,14L30,14M25

ISBN : 2-85629-122-8