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Éléments de la théorie des systèmes différentiels géométriques, Cours du C.I.M.P.A., École d'été de Séville (1996)
Philippe Maisonobe - Luis Narváez Macarro (Éd.)
Séminaires et Congrès 8 (2004), xx+430 pages

Explicit Calculations in Rings of Differential Operators
Francisco J. Castro-Jiménez - Michel Granger
Séminaires et Congrès 8 (2004), 89-128
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Résumé :
Calculs explicites dans l'anneau des opérateurs différentiels
Dans ce cours on développe la notion de base standard, en vue d'étudier les algèbres d'opérateurs différentiels linéaires et les modules de type fini sur ces algèbres. On considère le cas des coefficients polynomiaux, des coefficients holomorphes ainsi que le cas des algèbres d'opérateurs à coefficients formels.
Notre but est de montrer comment les bases standards permettent de calculer certains invariants classiques des germes de modules (à gauche) cohérents sur le faisceaux $\mathcal {D}$ des opérateurs différentiels linéaires sur $\mathbb {C} ^n$. Les principaux invariants que nous examinons sont : la variété caractéristique, sa dimension et sa multiplicité en un point du fibré cotangent.
Dans le dernier chapitre nous étudions des invariants plus fins des $\mathcal {D}$-modules qui sont reliés aux questions d'irrégularité: les pentes d'un $\mathcal {D}$-module, le long d'une hypersurface lisse.

Mots clefs : D-modules, bases de Gröbner, pentes

Abstract:
We use the notion of a standard basis to study algebras of linear differential operators and finite type modules over these algebras. We consider the polynomial and the holomorphic cases as well as the formal case.
Our aim is to demonstrate how to calculate classical invariants of germs of coherent (left) modules over the sheaf $\mathcal {D}$ of linear differential operators over $\mathbb {C} ^n$. The main invariants we deal with are: the characteristic variety, its dimension and the multiplicity of this variety at a point of the cotangent space.
In the final chapter we shall study more refined invariants of $\mathcal {D}$-modules linked to the question of irregularity: The slopes of a $\mathcal {D}$-module along a smooth hypersurface of the base space.

Key words: D-modules, Gröbner basis, slopes

Class. math. : 13N10, 13P10, 16S32

ISBN : 2-85629-151-1
ISSN : 1285-2783