 Séminaires et Congrès - 9 - pages 125-141 | |
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Actes des journées mathématiques à la mémoire de Jean Leray - (Nantes, 2002)
Laurent Guillopé - Didier Robert (Éd.)
Séminaires et Congrès 9 (2004), xviii+208 pages
Asymptotic solutions of non linear wave equations and polarized null conditions
Yvonne Choquet-Bruhat
Séminaires et Congrès 9 (2004), 125-141
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Résumé :
Conditions nulles polarisées
La généralisation faite par Leray de la méthode WKB pour la construction de solutions asymptotiques à haute fréquence de systèmes arbitraires d'équations aux dérivées partielles linéaires a permis le traitement de systémes quasilinéaires et l'apparition de propriétés nouvelles comme la distorsion des signaux. La non linéarité est aussi une obstruction à l'existence de solutions globales des systèmes d'évolution. On introduit une condition nulle polarisée, généralisation de la condition nulle de Christodoulou-Klainerman à des systèmes mal posés par suite de l'invariance de jauge. On montre qu'elle conduit à une équation de transport linéaire le long des rayons d'une solution asymptotique. Elle est satisfaite par le modèle standard, mais un terme résiduel dans le cas des équations d'Einstein conduit à une « réaction en retour » sur la métrique de base.
Mots clefs : Asymptotiques, modèle standard, équations d'Einstein
Abstract:
The jump in generality made by Leray for the WKB type construction of high frequency asymptotic solutions of linear partial differential equations has allowed the treatment of arbitrary linear systems of partial differential equations. It also permitted the extension to quasilinear systems, and the appearance of new properties linked to the non linearities, in particular a distorsion of signals. The non linearity of a differential system is also an obstruction to the existence of global solutions of evolution problems. In the case of non linear wave equations on the Minkowski spacetime of dimension 4 it has been discovered by Christodoulou and Klainerman that a ``null condition'' satisfied by the non linearities leads to global existence results. The equations of the fundamental field equations (standard model, Einstein equations) are quasi linear second order partial differential equations, but not well posed due to gauge invariance. We introduce a ``polarized null condition''. We show it is satisfied by the standard model, but not quite by the Einstein equations. We construct for both systems asymptotic high frequency solutions with linear transport law along the rays. In the case of Einstein equations the wave inflicts a ``back reaction'' on the background metric.
Key words: Asymptotics, standard model, Einstein equations
Class. math. : 35-XX, 35Qxx, 83Cxx