Séminaires et Congrès - 10 - pages 351-372 < Séminaires et Congrès < 10

Singularités franco-japonaises
Jean-Paul Brasselet - Tatsuo Suwa (Éd.)
Séminaires et Congrès 10 (2005), xxxii+460 pages

The Chern Numbers of the Normalization of an Algebraic Threefold with Ordinary Singularities
Shoji Tsuboi
Séminaires et Congrès 10 (2005), 351-372
Download : PS file / PDF file

Résumé :
Les nombres de Chern de la normalisée d'une variété algébrique de dimension 3 à points singuliers ordinaires
Par une formule classique due à Enriques, les nombres de Chern de la normalisation non singulière X de la surface algébrique S avec singularités ordinaires dans $\mathbb {P} ^3( \mathbb {C} )$ sont donnés par $\int _X c_1^2=n(n-4)^2-(3n-16)m+3t-\gamma$, $\int _X c_2=n(n^2-4n+6)-(3n-8)m+3t-2\gamma$, où n est le degré de S, m est le degré de la courbe double (lieu singulier) D_S de S, t est le nombre de points triples de S, et $\gamma$ est le nombre de points cuspidaux de S. Dans cet article nous donnons des formules similaires pour une ``threefold" algébrique $\overline {X}$ avec singularités ordinaires dans $\mathbb {P} ^4( \mathbb {C} )$ (Théorème 1.15, Théorème 2.1, Théorème 3.2). Comme application, nous obtenons une formule numérique pour la caractéristique d'Euler-Poincaré $\chi (X,{\mathcal {T}}_X)$ à coefficients dans le faisceau ${\mathcal {T}}_X$ de champs de vecteurs holomorphes de la normalisation non singulière X de $\overline {X}$ (Théorème 4.1).

Mots clefs : Nombre de Chern, variété de dimension 3, hypersurface, singularité ordinaire, normalisation

Abstract:
By a classical formula due to Enriques, the Chern numbers of the non-singular normalization X of an algebraic surface S with ordinary singularities in $\mathbb {P} ^3( \mathbb {C} )$ are given by $\int _X c_1^2=n(n-4)^2-(3n-16)m+3t-\gamma$, $\int _X c_2=n(n^2-4n+6)-(3n-8)m+3t-2\gamma$, where n = the degree of S, m = the degree of the double curve (singular locus) D_S of S, t = the cardinal number of the triple points of S, and $\gamma$=the cardinal number of the cuspidal points of S. In this article we shall give similar formulas for an algebraic threefold $\overline {X}$ with ordinary singularities in $\mathbb {P} ^4( \mathbb {C} )$ (Theorem 1.15, Theorem 2.1, Theorem 3.2). As a by-product, we obtain a numerical formula for the Euler-Poincaré characteristic $\chi (X,{\mathcal {T}}_X)$ with coefficient in the sheaf ${\mathcal {T}}_X$ of holomorphic vector fields on the non-singular normalization X of $\overline {X}$ (Theorem 4.1).

Key words: Chern number, threefold, hypersurface, ordinary singularity, normalization

Class. math. : Primary 14G17; Secondary 14G30, 32C20, 32G05

ISBN : 2-85629-166-X
ISSN : 1285-2783