 Séminaires et Congrès - 13 - pages 235-252 | |
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Groupes de Galois arithmétiques et différentiels. Actes du colloque du CIRM (Luminy, 8-13 Mars 2004)
Daniel Bertrand - Pierre Dèbes (Éd.)
Séminaires et Congrès 13 (2006), xxii+391 pages
Properties of Lamé operators with finite monodromy
Razvan Litcanu - Leonardo Zapponi
Séminaires et Congrès 13 (2006), 235-252
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Résumé :
Propriétés des opérateurs de Lamé à monodomie finie
Cet article présente quelques développements récents dans l'étude des opérateurs de Lamé à monodromie finie. On décrit l'approche basée sur la théorie des pull-back développée par Klein et utilisée par Baldassarri pour décrire la monodromie projective. On fait ensuite le lien avec la théorie des dessins d'enfants de Grothendieck, qui amène à des descriptions et à des formules explicites. On revient également sur les résultats de Beukers and van der Waall concernant la monodromie. La dernière partie est consacrée à l'étude des opérateurs de Lamé L1 avec monodromie finie en termes des valeurs de la fonction zéta de Weierstraß correspondant à la courbe elliptique attachée à L1 et au lien avec les formes modulaires.
Mots clefs : Opérateurs de Lamé, fonctions de Belyi, dessins d'enfants, courbes elliptiques, formes modulaires.
Abstract:
This survey paper contains recent developments in the study of Lamé operators having finite monodromy group. We present the approach based on the pull-back theory of Klein, that allowed the description of the projective monodromy groups by Baldassarri, as well as the connection with Grothendieck's theory of dessins d'enfants, that leads to explicit properties and formulae. The results of Beukers and van der Waall concerning the full monodromy group are also presented. The last section describes the Lamé operators L1 with finite monodromy in terms of the values of the Weierstraß zeta function corresponding to the elliptic curve associated to L1, as well as the connection with the modular forms.
Key words: Lamé differential operators, Belyi functions, dessins d'enfants, elliptic curves, modular forms.
Class. math. : 34A20, 14H30, 14H05.