 Séminaires et Congrès - 15 - pages 265-308 | |
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Partial Differential Equations and Applications - [5] Proceedings of the CIMPA School held in Lanzhou (2004)
Xue Ping Wang - Chengkui Zhong
Séminaires et Congrès 15 (2007), xvi+332 pages
Microlocal estimates of the stationary Schrödinger equation in semi-classical limit
Xue Ping Wang
Séminaires et Congrès 15 (2007), 265-308
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Résumé :
Estimations microlocales de l'équation de Schrödinger stationnaire en limite semi-classique
Nous présentons une nouvelle démonstration pour les estimations microlocales de l'opérateur de Schrödinger semi-classique, qui permet de généraliser les résultats connus aux potentiels avec singularité locale et aux potentiels dépendant d'un paramètre. Nous appliquons ces résultats à l'étude de l'équation de Schödinger stationnaire par l'approche de mesure semi-classique. Sous des hypothèses faibles sur la régularité du potentiel, nous montrons que l'équation de Schrödinger stationnaire converge vers l'équation de Liouville en limite semi-classique et que la mesure semi-classique est unique et de support inclus dans une région sortante.
Mots clefs : Principe d'absorption limit, estimations microlocales de la résolvante, équation de Schrödinger, équation de Liouville, mesure semi-classique, condition de radiation
Abstract:
We give a new proof for microlocal resolvent estimates for semi-classical Schrödinger operators, extending the known results to potentials with local singularity and to those depending on a parameter. These results are applied to the study of the stationary Schödinger equation with the approach of semi-classical measures. Under some weak regularity assumptions, we prove that the stationary Schrödinger equation tends to the Liouville equation in the semi-classical limit and that the associated semi-classical measure is unique with support contained in an outgoing region.
Key words: Limiting absorption principle, microlocal resolvent estimates, Schrödinger equation, Liouville equation, semi-classical measure, radiation condition
Class. math. : 35P25, 35Q30, 76D05, 81Q10