Асеев В. В.
Условие мёбиусовых середин как признак квазиконформности и квазимёбиусовости
Условие середин, введенное Голдбергом (1974 г.) как критерий квазисимметричности отображения прямой на себя и рассмотренное В. В. Асеевым и Д. Г. Кузиным (1998 г.) в том же качестве для топологических вложений прямой в пространство  n, не дает, однако, никакой информации о квазиконформности или квазисимметричности топологического вложения k в n при 1 < k ≤ n. В статье вводится мёбиусово-инвариантная модификация условия середин, названная условием «мёбиусовых середин» УМС(ƒ) ≤ H < 1. Доказано, что при выполнении этого условия гомеоморфизм областей в  является K(H)-квазиконформным, а топологическое вложение сферы  в (1 ≤ k ≤ n) — ωH -квазимёбиусовым. Коэффициент квазиконформности K(H) и функция искажения ωH зависят только от H и выражены явными формулами, показывающими, что K(H) → 1 и ωH → id при H → 1/2. Так как УМС(ƒ) = 1/2 равносильно мёбиусовости отображения ƒ, полученные формулы дают близость отображения к мёбиусову при H, близком к 1/2. |
Aseev V. V.
The Möbius midpoint condition as a test for quasiconformality and the quasimöbius property
The Möbius midpoint condition, introduced by Goldberg in 1974 as a criterion for the quasisymmetry of a mapping of the line onto itself and considered by Aseev and Kuzin in 1998 in the same role for the topological embeddings of the line into n, yields no information on the quasiconformality or quasisymmetry of a topological embedding of k into n for 1 < k ≤ n. In this article we introduce a Möbius-invariant modification of the midpoint condition, which we call the “Möbius midpoint condition” MMC(ƒ) ≤ H < 1. We prove that if this condition is fulfilled then every homeomorphism of domains in is K(H)-quasiconformal, while a topological embedding of the sphere into (for 1 ≤ k ≤ n) is ωH-quasimöbius. The quasiconformality coefficient of K(H) and the distortion function ωH depend only on H and are expressed by explicit formulas showing that K(H) → 1 and ωH → id as H → 1/2. Since MMC(ƒ) = 1/2 is equivalent to the Möbius property of ƒ, the resulting formulas yield the closeness of the mapping to a Möbius mapping for H near 1/2.
|
