Хухро Е. И.
Контрпримеры к ранговому аналогу теоремы Шеферда – Лидхэм-Грина – Маккэй о конечных p-группах максимальной ступени нильпотентности

По теореме Шеферда — Лидхэм-Грина — Маккэй о конечных p-группах максимальной ступени нильпотентности если конечная p-группа порядка p ⁿ имеет ступень нильпотентности n−1, то она обладает подгруппой ступени нильпотентности не выше 2 с индексом, ограниченным в терминах p. Построены контрпримеры к ранговому аналогу этой теоремы, которые дают отрицательное решение задачи 16.103 из «Коуровской тетради». Более того, показано, что не существует функций r (p) и l (p) таких, что любая 2-порожденная конечная p-группа, все факторы нижнего центрального ряда которой начиная со второго циклические, обязательно обладала бы нормальной подгруппой ступени разрешимости не выше l (p) с фактор-группой ранга не выше r (p). Требуемые примеры конечных p-групп строятся как фактор-группы нильпотентных групп без кручения, которые являются абстрактными 2-порожденными подгруппами нильпотентных делимых групп без кручения, находящихся в соответствии Мальцева с «укороченными» алгебрами Витта.

Khukhro E. I.
Counterexamples to a rank analog of the Shepherd-Leedham-Green-Mckay theorem on finite p-groups of maximal nilpotency class

By the Shepherd-Leedham-Green-McKay theorem on finite p-groups of maximal nilpotency class, if a finite p-group of order p ⁿ has nilpotency class n−1, then f has a subgroup of nilpotency class at most 2 with index bounded in terms of p. Some counterexamples to a rank analog of this theorem are constructed that give a negative solution to Problem 16.103 in The Kourovka Notebook. Moreover, it is shown that there are no functions r(p) and l (p) such that any finite 2-generator p-group whose all factors of the lower central series, starting from the second, are cyclic would necessarily have a normal subgroup of derived length at most l (p) with quotient of rank at most r (p). The required examples of finite p-groups are constructed as quotients of torsion-free nilpotent groups which are abstract 2-generator subgroups of torsion-free divisible nilpotent groups that are in the Mal’cev correspondence with “truncated” Witt algebras.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file