Решетняк Ю. Г.
О формуле Тейлора для функций многих переменных
В элементарных курсах математического анализа обычно приводится прием, применяемый для построения остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме. Этот прием основан на том, что если разность
f (x) − f (t) −  между данной функцией и ее полиномом Тейлора порядка r − 1 в точке t продифференцировать по t, то в результате получим выражение – , так что все производные порядка, меньшего I, исчезают. Как было замечено автором [1], аналогичный эффект имеет место и для функций многих переменных. При дифференцировании разности между функцией и ее полиномом Тейлора порядка r − 1 в точке t относительно компонент этой точки остаются члены, в которые входят только производные порядка r. Этот факт применяется здесь для получения оценок остаточного члена формулы Тейлора функции многих переменных вдоль спрямляемой кривой.
|
Reshetnyak Yu. G.
On Taylor’s formula for functions of several variables
Elementary courses in mathematical analysis often mention some trick that is used to construct the remainder of Taylor’s formula in integral form. The trick is based on the fact that, differentiating the difference f (x) − f (t) − between the function and its degree r − 1 Taylor polynomial at t with respect to t, we obtain – , so that all derivatives of orders below r disappear. The author observed previously a similar effect for functions of several variables. Differentiating the difference between the function and its degree r − 1 Taylor polynomial at t with respect to its components, we are left with terms involving only order r derivatives. We apply this fact here to estimate the remainder of Taylor’s formula for functions of several variables along a rectifiable curve.
|
