Васкевич В. Л.
Погрешность и гарантированная точность кубатурных формул в многомерных периодических пространствах Соболева

Проведена оценка сверху уклонения нормы возмущенного функционала погрешности от нормы исходного функционала погрешности кубатурной формулы на многомерной ограниченной области. Уклонение возникает в результате комбинированного влияния на итог вычислений малых изменений весов кубатурной формулы и округлений при последующем подсчете кубатурной суммы в условиях заданных стандартов (форматов) приближения вещественных чисел. Дана оценка практической погрешности кубатурной формулы при ее действии на произвольную функцию из единичного шара нормированного пространства подынтегральных функций. Полученные оценки применены при исследовании практической погрешности кубатурных формул в случае подынтегральных функций из пространств Соболева на многомерном кубе. Норма функционала погрешности в сопряженном соболевскому классу пространстве представлена в виде положительно определенной квадратичной формы от весов кубатурной формулы. Проведена оценка практической погрешности для кубатурных формул, каждая из которых конструируется как прямое произведение квадратурных формул прямоугольников по ребрам единичного куба. Веса такого прямого произведения положительны.

Vaskevich V. L.
The error and guaranteed accuracy of cubature formulas in multidimensional periodic Sobolev spaces

We give an upper bound for the deviation of the norm of a perturbed error from the norm of the original error of a cubature formula in a multidimensional bounded domain. The deviation arises as a result of the joint influence on the computations of small variations of the weights of a cubature formula and rounding in the subsequent calculations of the cubature sum in the given standards (formats) of approximation to real numbers. We estimate the practical error of a cubature formula acting on an arbitrary function from the unit ball of a normed space of integrands. The resulting estimates are applied to studying the practical error of cubature formulas in the case of integrands in Sobolev spaces on a multidimensional cube. The norm of the error in the dual space of the Sobolev class is represented as a positive definite quadratic form in the weights of the cubature formula. We estimate the practical error for cubature formulas constructed as the direct product of quadrature formulas of rectangles along the edges of the unit cube. The weights of this direct product are positive.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file