В. В. Асеев
Мёбиус-билипшицево однородные дуги на плоскости>Мёбиус-билипшицевым называется
$\eta$ -квазимёбиусово отображение с линейной функцией искажения$\eta(t)=Kt$ . Показано, что если открытая жорданова дуга$\gamma\subset\overline{\mathbb C}$ с различными концами$a,b$ однородна относительно$\mathscr F_K$ семейства мёбиус-билипшицевых автоморфизмов сферы$\overline{\mathbb C}$ c заданным$K$ , то она имеет ограниченное искривление по Рикману$RT(\gamma)$ и, следовательно, является квазиконформным образом прямолинейного отрезка. Однородность$\gamma$ относительно$\mathscr F_K$ означает, что для любых$x,y\in\gamma\setminus\{a,b\}$ существует$f\in\mathscr F_K$ , у которого$f(\gamma)=\gamma$ и$f(x)=y$ . Для получения верхней оценки рикманова искривления$RT(\gamma)$ вводится условие$BR(\delta)$ ограниченного вращения жордановой дуги$\gamma$ , и тогда эта оценка выражается явно через$K$ и$\delta$ .
V. V. Aseev
Möbius bilipschitz homogeneous arcs on the planeA möbius bilipschitz mapping is an
$\eta$ -quasimöbius mapping with the linear distortion function$\eta(t)=Kt$ . We show that if an open Jordan arc$\gamma\subset\overline{\mathbb C}$ with distinct endpoints$a$ and$b$ is homogeneous with respect to the family$\mathscr F_K$ of möbius bilipschitz automorphisms of the sphere$\overline{\mathbb C}$ with$K$ specified then$\gamma$ has bounded turning$RT(\gamma)$ in the sense of Rickman and, consequently,$\gamma$ is a quasiconformal image of a rectilinear segment. The homogeneity of$\gamma$ with respect to$\mathscr F_K$ means that for all$x,y\in\gamma\setminus\{a,b\}$ there exists$f\in\mathscr F_K$ with$f(\gamma)=\gamma$ and$f(x)=y$ . In order to estimate$RT(\gamma)$ from above, we introduce the condition$BR(\delta)$ of bounded rotation of$\gamma$ , and then the explicit bound depends only on$K$ and$\delta$ .
DOI 10.17377/smzh.2016.57.302
Ключевые слова: билипшицева однородность, квазиконформная однородность, квазиконформное отображение, билипшицево отображение, квазимебиусово вложение, мёбиус-билипшицево отображение, мёбиус-билипшицева однородность, ограниченное искривление.Полный текст статьи / Full texts: