О. В. Бородин, А. О. Иванова
Легкие и низкие 5-звезды в нормальных плоских картах с минимальной степенью 5Известно, что существуют нормальные плоские карты (НПМ) с минимальной степенью
$\delta$ , равной$5$ , такие, что минимальная сумма степеней$w(S_5)$ $5$ -звезд с центрами в$5$ -вершине неограниченно велика. Высота$5$ -звезды есть максимальная степень ее вершин. Через$h(S_5)$ обозначим минимальную высоту$5$ -звезд с центром в$5$ -вершине в данной НПМ с$\delta=5$ .
В 1940 г. Лебег доказал, что если НПМ с$\delta=5$ не содержит$4$ -звезд циклического типа$(\overrightarrow{5,6,6,5})$ с центром в$5$ -вершине, то$w(S_5)<68$ и$h(S_5)<41$ . Недавно О. В. Бородин, А. О. Иванова и Йенсен понизили эти оценки до$55$ и$28$ соответственно и дали конструкцию НПМ с$\delta=5$ без$(\overrightarrow{5,6,6,5})$ -звезд с$w(S_5)=48$ и$h(S_5)=20$ .
В статье доказано, что$w(S_5)<51$ и$h(S_5)<23$ для каждой НПМ с$\delta=5$ без$(\overrightarrow{5,6,6,5})$ -звезд.
O. V. Borodin, A. O. Ivanova
Light and low 5-stars in normal plane maps with minimum degree 5It is known that there are normal plane maps (NPMs) with minimum degree
$\delta=5$ such that the minimum degree-sum$w(S_5)$ of$5$ -stars at$5$ -vertices is arbitrarily large. The height of a$5$ -star is the maximum degree of its vertices. Given an NPM with$\delta=5$ , by$h(S_5)$ we denote the minimum height of a$5$ -stars at$5$ -vertices in it.
Lebesgue showed in 1940 that if an NPM with$\delta=5$ has no$4$ -stars of cyclic type$(\overrightarrow{5,6,6,5})$ centered at$5$ -vertices, then$w(S_5)<68$ and$h(S_5)<41$ . Recently, Borodin, Ivanova, and Jensen lowered these bounds to$55$ and$28$ , respectively, and gave a construction of a$(\overrightarrow{5,6,6,5})$ -free NPM with$\delta=5$ having$w(S_5)=48$ and$h(S_5)=20$ .
In this paper, we prove that$w(S_5)<51$ and$h(S_5)<23$ for each$(\overrightarrow{5,6,6,5})$ -free NPM with$\delta=5$ .
DOI 10.17377/smzh.2016.57.307
Ключевые слова: граф, плоская карта, вес, легкий подграф, высота, низкий подграф.Полный текст статьи / Full texts: