Quaternionic Structures in Mathematics and Physics SISSA - Trieste, 5-9 September 1994

ISOMORPHISMES SUR UNE VARIÉTÉ PRESQUE HERMITIENNE QUATERNIONIQUE Edmond BONAN

Abstract. We expose a new proof of my theorem of 1982: wedging with the fundamental 4-form gives an isomorphism at the highest degree.

Donnons d’abord un résultat concernant la multiplication extérieure par une forme Ψ de puissance maximum m, soit Ψ^{m} ≠ 0.

LEMME 1.-Pour toute forme ζ de degré k < r, Ψ^{r−k} ∧ ζ = 0 ⇒ ζ = 0.

Ce qui est déjà vrai pour 0, supposons le pour l’entier k < r − 1. Soit ζ une (k + 1)-forme vérifiant Ψ^{r−k−1} ∧ ζ = 0. Effectuons le produit intérieur par une 1-forme ξ, nous obtenons (r − k − 1)ı(ξ)Ψ ∧ Ψ^{r−k−2} ∧ ζ + Ψ^{r−k−1} ∧ ı(ξ)ζ = 0. La multiplication extérieure par Ψ donne Ψ^{r−k} ∧ ı(ξ)ζ = 0, soit ζ = 0 car ı(ξ)ζ est de degré (r − k) et ξ est arbitraire.

Ce résultat est le meilleur possible. Par exemple supposons que Ψ soit une 4-forme dont l’expression dans une base particulière soit Ψ = ∑_{α=1}^{m} ω^{α_{0}} ∧ ω^{α_{1}} ∧ ω^{α_{2}} ∧ ω^{α_{3}}. La m-forme λ = ω^{1_{0}} ∧ ω^{2_{1}}... ∧ ω^{m_{0}} s’oppose à une amélioration car Ψ ∧ λ = 0 et Ψ^{m} ≠ 0.

L’application de ce lemme au cas d’une variété presque hermitienne de dimension réelle 2n est un raccourci pour obtenir le théorème de Lefschetz. La 2-forme fondamentale F, est de rang maximum donc F^{n} ≠ 0. Nous le rappelons

THÉORÈME 2.-Sur une variété presque hermitienne de dimension 2n l’application

e(F)^{h} : Λ^{n−h}(T^{∗}) ⟶ Λ^{n+h}(T^{∗})

est un isomorphisme pour toutes les valeurs 0 < h ≤ n.

L’application du lemme au cas d’une variété presque hermitienne quaternionique de dimension réelle 4n permet d’obtenir pour la 4-forme fondamentale Ω, de puissance maximum soit Ω^{n} ≠ 0

PROPOSITION 3.-Sur une variété presque hermitienne quaternionique de dimension 4n l’application

e(Ω) : Λ^{r}(T^{∗}) ⟶ Λ^{r+4}(T^{∗})

2 E. BONAN est injective pour toutes les valeurs r < n.

Ce résultat interessant est cependant très insuffisant. Soient F_{1}, F_{2}, F_{3} trois 2-formes locales compatibles avec la structure presque hermitienne

quaternionique de la variété V_{4n}. Elles s’écrivent dans des corepères adaptés réels

F_{1} = ∑_{α=1}^{n}(ω^{α_{0}} ∧ ω^{α_{1}} + ω^{α_{2}} ∧ ω^{α_{3}}), F_{2} = ∑_{α=1}^{n}(ω^{α_{0}} ∧ ω^{α_{2}} + ω^{α_{3}} ∧ ω^{α_{1}}),

F_{3} = ∑_{α=1}^{n}(ω^{α_{0}} ∧ ω^{α_{3}} + ω^{α_{1}} ∧ ω^{α_{2}}).

Pour chacune de ces 2-formes nous introduisons les opérateurs de Lichnérowicz

e(F_{1}) = ∑_{α=1}^{n} (e(ω^{α_{0}})e(ω^{α_{1}}) + e(ω^{α_{2}})e(ω^{α_{3}})), ı(F_{1}) = ∑_{α=1}^{n} (ı(ω^{α_{1}})ı(ω^{α_{0}}) + ı(ω^{α_{3}})ı(ω^{α_{2}})),

m(F_{1}) = ∑_{α=1}^{n} (e(ω^{α_{1}})ı(ω^{α_{0}}) − e(ω^{α_{0}})ı(ω^{α_{1}}) + e(ω^{α_{3}})ı(ω^{α_{2}}) − e(ω^{α_{2}})ı(ω^{α_{3}})).

PROPOSITION 4.- Pour toute permutation circulaire (α, β, γ) de (1, 2, 3) nous avons les formules

m(F_{α}) = [e(F_{γ}), ı(F_{β})] = [ı(F_{γ}), e(F_{β})],

[m(F_{α}), e(F_{α})] = 0,  [m(F_{α}), ı(F_{α})] = 0,  [ı(F_{α}), e(F_{α})] = ∑_{r=0}^{4n}(2n − r)E_{r},
[m(F_{α}), e(F_{β})] = 2e(F_{γ}),  [m(F_{α}), m(F_{β})] = 2m(F_{γ}),  [m(F_{α}), ı(F_{β})] = 2ı(F_{γ}).

La 4-forme fondamentale globale s’écrit localement Ω = F_{1} ∧ F_{1} + F_{2} ∧ F_{2} + F_{3} ∧ F_{3}.

Le calcul par récurrence sur la dimension n des puissances de Ω fournit en particulier

Ω^{n} = (2n + 1)! ⋀_{α=1}^{n} (ω^{α_{0}} ∧ ω^{α_{1}} ∧ ω^{α_{2}} ∧ ω^{α_{3}}). Ω^{n−1} = \frac{1}{6}(2n − 1)! ∗ Ω.

PROPOSITION 5.-Pour α = 1, 2, 3, nous avons

[e(F_{α}), e(Ω)] = 0, [m(F_{α}), e(Ω)] = 0,

[m(F_{α}), e(F_{β})^{2}] = +2e(F_{β})e(F_{γ}), [m(F_{α}), e(F_{γ})^{2}] = −2e(F_{β})e(F_{γ}).

ISOMORPHISMES SUR UNE VARIÉTÉ 3

En vue d’ évaluer [ı(F_{α}), e(Ω)], nous avons successivement

[ı(F_{α}), e(F_{α})^{2}] = 2 ∑_{r=0}^{4n}(2n − r − 1)e(F_{α})E_{r},

[ı(F_{α}), e(F_{β})^{2}] = −m(F_{γ})e(F_{β}) − e(β)m(F_{γ}), [ı(F_{α}), e(F_{γ})^{2}] = +e(F_{γ})m(F_{β}) + m(β)e(F_{γ}), et puisque ces deux dernières expressions commutent avec e(Ω), nous énoncerons

PROPOSITION 6.-Pour α = 1, 2, 3, nous avons [e(Ω), [ı(F_{α}), e(Ω)]] = 8e(F_{α})e(Ω).

Nous appelons r-forme hypereffective une forme λ satisfaisant aux relations ı(F_{α})λ = 0 pour α = 1, 2, 3.

THÉORÈME 8.-Pour toutes les valeurs de k, 0 < k ≤ n, l’application

e(Ω)^{k} : Λ^{2(n−k)}(T^{∗}) ⟶ Λ^{2(n+k)}(T^{∗})

est bijective.

Une conséquence immédiate est le COROLLAIRE 9.-L’application

e(Ω) : Λ^{r}(T^{∗}) ⟶ Λ^{r+4}(T^{∗})

est injective pour toutes les valeurs de r, 0 ≤ r ≤ 2n − 2.

LEMME 1.-Une (2n − 2k)-forme hypereffective ζ vérifiant e(Ω)^{k}ζ = 0 est nulle. Définissons les corepères adaptés complexes

θ^{α_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(ω^{α_{0}} + \sqrt{−1}ω^{α_{1}}), θ^{α_{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(ω^{α_{2}} + \sqrt{−1}ω^{α_{3}}),

θ^{α_{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(ω^{α_{0}} − \sqrt{−1}ω^{α_{1}}), θ^{α_{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(ω^{α_{2}} − \sqrt{−1}ω^{α_{3}}),

A l’aide des formes locales complexes

μ = \frac{1}{2} ∑_{α=1}^{n} θ^{α_{0}} ∧ θ^{α_{2}}, σ = ∑_{α=1}^{n} (θ^{α_{0}} ∧ θ^{α_{1}} + θ^{α_{2}} ∧ θ^{α_{3}}), μ̄ = \frac{1}{2} ∑_{α=1}^{n} θ^{α_{1}} ∧ θ^{α_{3}},

La 4-forme fondamentale s’écrit

Ω = 4μ ∧ μ̄ − σ ∧ σ.

Nous appelons r-forme primitive une forme ζ satisfaisant aux relations ı(μ̄)ζ = 0 et m(μ)ζ = 0.

Nous pouvons supposer que ζ ≠ 0 est une primitive paire de bidegré disons (ı, ȷ), 0 ≤ ȷ ≤ ı ≤ n, contenue dans le sp(n)-module irréductible de signature (2^{ȷ}, 1^{ı−ȷ}, 0^{n−ı}) et en vertu du lemme de Schur, nous la choisissons telle que dans un corepère adapté complexe, elle s’écrive

ζ = ⋀_{α=1}^{ȷ} ⋀_{β=ȷ+1}^{ı} θ^{α_{0}} ∧ θ^{α_{3}} ∧ θ^{β_{0}}.

Si on écrit

Ω = 4(∑_{σ=1}^{n} θ^{σ_{0}} ∧ θ^{σ_{2}}) ⋀(∑_{ρ=1}^{n} θ^{ρ_{1}} ∧ θ^{ρ_{3}}) − ⋀^{2} ( ∑_{τ=1}^{n} (θ^{τ_{0}} ∧ θ^{τ_{1}} + θ^{τ_{2}} ∧ θ^{τ_{3}})),

nous observons que le produit extérieur Ω^{n− \frac{1}{2} (ı+ȷ)} ∧ ζ possède alors une composante non nulle sur la (4n − ı − ȷ)-forme

⋀_{α=1}^{ȷ} ⋀_{β=ȷ+1}^{ı} ⋀_{γ=ı+1}^{n} θ^{α_{0}} ∧ θ^{α_{3}} ∧ θ^{β_{0}} ∧ θ^{β_{2}} ∧ θ^{β_{3}} ∧ θ^{γ_{0}} ∧ θ^{γ_{1}} ∧ θ^{γ_{2}} ∧ θ^{γ_{3}}.

Le théorème 8 est déjà vrai pour l’entier k = n, puisque la 4-forme Ω est de puissance maximum n. Supposons le pour k = n−p, où p < n−1. Soit ζ une (2p+2)-forme satisfaisant Ω^{n−p−1} ∧ζ = 0. Appliquons l’un des opérateurs ı(F_{α}) à l’ égalité obtenue par multiplication extérieure par Ω, il vient

∑_{h=1}^{k+1} Ω^{h−1} ∧ [ı(F_{α}), Ω] ∧ Ω^{n−p−h} ∧ ζ + Ω^{n−p} ∧ ı(F_{α})ζ = 0.

Puisque nous disposons des relations

Ω ∧ ı(F_{α})Ω = ı(F_{α})Ω ∧ Ω + 8F_{α} ∧ Ω, Ω ∧ F_{α} = F_{α} ∧ Ω,

nous pouvons, de proche en proche, amener le facteur Ω^{n−p−1} juste devant ζ dans tous les termes du premier membre, qui s’évanouissent sauf le dernier. Nous trouvons Ω^{n−p} ∧ ı(F)ζ = 0. Le degré de la forme ı(F_{α})ζ est 2p, donc ı(F_{α})ζ = 0, ceci pour chacun des α : ζ est donc hypereffective et même nul d’après le lemme 1.

Nous appelons r-forme effective une forme λ_{r} satisfaisant ı(Ω)λ_{r} = 0.

THÉORÈME 10.-Toute r-forme φ_{r} admet la décomposition unique en somme directe du type :

φ_{r} = ∑_{h=[ \frac{r+1−2n}{2} ]_{+}}^{[ \frac{r}{4} ]} Ω^{h}λ_{r−4h},

où les λ_{r−4h} sont des forme effectives.

Le théorème est trivial pour r = 0, 1, 2 ou 3. Admettons le pour l’ entier r ≤ 2n − 4. Toute (r + 4)-forme se décompose d’ une manière unique φ_{r+4} = ψ_{r+4} + λ_{p+4} où ψ_{r+4} = Ω ∧ φ_{r} et

ISOMORPHISMES SUR UNE VARIÉTÉ 5

ı(Ω)λ_{r+4} = 0 pour une certaine r-forme φ_{r} à laquelle nous appliquons l’ hypothèse de récurrence : e(Ω) étant injectif, la décomposition en résulte, cette fois pour les r + 4-formes.

Utilisons maintenant le théorème des isomorphismes pour achever la démonstration : une rforme de degré r > 2n est divisible par Ω^{[ \frac{r+1−2n}{2} ]} avec un quotient unique, grâce au théorème des isomorphismes.

Pour toutes les valeurs de h, 0 ≤ h ≤ n, l’application

e(Ω)^{h} : Λ^{2(n−h)−1}(T^{∗}) ⟶ Λ^{2(n+h)−1}(T^{∗})

est injective, par suite en composant avec l’ opérateur ∗ de Hodge, nous obtenons le

COROLLAIRE 11.-Pour toutes les valeurs de k, 0 < k < n, l’application

∗e(Ω)^{n−k} : Λ^{2k−1}(T^{∗}) ⟶ Λ^{2k+1}(T^{∗})

est injective.

COROLLAIRE 12.-Si la 4-forme fondamentale d’ une variété presque hermitienne quaternionique est cofermée, la différentielle dΩ est effective.

Comme 6 ∗ Ω = (2n − 1)!Ω^{n−1}, nous obtenons Ω^{n−2} ∧ dΩ = 0.

Sur une variété riemannienne à groupe d’ holonomie Sp(n).Sp(1), la 4-forme fondamentale Ω est à dérivée covariante nulle dans la connexion riemannienne et les opérateurs e(Ω) et ı(Ω) commutent avec le laplacien : les décompositions d’ une forme harmonique ne fait intervenir que des formes effectives elles même harmoniques.

L’ utilisation de l’ injection e(Ω) pour r = 2k et ∗e(Ω)^{n−k} pour r = 2k − 1, nous avons enfin THÉORÈME 13.-Entre les nombres de Betti d’ une variété kähler quaternionique compacte, nous avons les inégalités

b_{2p} ≤ b_{2p+4},  b_{2p−1} ≤ b_{2p+1}  pour p < n.

6 E. BONAN

    RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1] E.BONAN, Structure presque quaternale sur une variété différentiable, C.R.Acad.Sci.Paris, 261, (1965) p. 5445-5448.

[2] E.BONAN, Sur les G-structures de type quaternionien, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle, IX, 4, (1967) p.389-463.

[3] E.BONAN, Sur l’algèbre extérieure d’une variété presque hermitienne quaternionique, C.R.- Acad.Sci.Paris, 295, A, (1982) p.115-118 et 296, A, 1983, p.601-602.

[4] E.BONAN, Décomposition de l’algèbre extérieure d’une variété hyperkählérienne, C.R.Acad.- Sci.Paris, 320, I, (1995) p.457-462.

[5] A.FUJIKI, On the de Rham cohomology group of a compact Kähler symplectic manifold in Algebraic Geometry, Sendaï, (1985) Advanced Studies in Pure Matthematics, 10.

[6] V.KRAINES, Topology of quaternionic manifolds, Trans.Amer.Math.Soc.122, (1965) p.356-367.

[7] E.MARTINELLI,Variétés à structure quaternionienne généralisée, Rev.Roum.Math.Pures et Appl. X, 7, (1965) p.915-922.

[8] T.NAGANO, M.TAKEUCHI, Signature of quaternionic Kaehler manifolds, Proc.Japan Acad. 59 (1983), p.384-386.

[9] V.OPROIU, Almost quaternal structures, An.st.Univ. Iazi. 23, (1977) p.287-298.

[10] S.SALAMON, Quaternionic Kähler manifolds, Invent.Math. 67, (1982) p.143-171.

[11] A.SWANN,Aspects symplectiques de la Géométrie quaternioniques, C.R.Acad.Sci.Paris, 308, I, (1989) p.115-118.

[12] A. WEIL, Introduction à l’étude des variétés Kählériennes, Hermann, Paris, (1958).

UFR de Mathématiques et d’Informatique,

Université Picardie Jules Verne,

33, rue Saint-Leu, 80039 Amiens, France, bonan@u-picardie.fr

5.11.1997.