Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 030.15202
Autor: Erdös, Paul; Piranian, George
Title: Over-convergence on the circle of convergence. (In English)
Source: Duke Math. J. 14, 647-658 (1947).
Review: Stellt die Potenzreihe sumn = 0oo an zn vom Konvergenzradius 1 eine analytische Funktion f(x) dar, die auf einem abgeschlossenen Bogen C des Einheitskreises regulär ist, so kann bekanntlich der Fall eintreten, daß eine Teilfolge smi (z) (i = 1,2,...) der Folge der Partialsummen sm(z) = sumn = 0oo an zn (m = 0,1,...) der Reihe in einem den Bogen C enthaltenden Gebiet gleichmäßig gegen f(z) konvergiert. Nach dem Ostrowskischen Überkonvergenzsatz trifft dies für die Teilfolge smi (z) genau dann zu, wenn zu der Indexfolge mi eine zweite ni mit liminfi ––> oo ni/mi > 1 existiert derart daß an = 0 ist für alle n aus den Intervallen mi < n \leq ni (i = 1,2,...). Die Verff. beschäftigen sich mit der Frage, wie weit unter Verzicht auf die Voraussetzung liminfi ––> oo ni/mi > 1 noch die Konvergenz der Folge smi(z) auf dem Bogen C selbst behauptet werden kann. Daß dies unter geeigneten Bedingungen für die Koeffizientenfolge an möglich sein muß, zeigt schon der Satz von M. Riesz, nach dem die gesamte Folge sm(z) längs C gleichmäßig gegen F(z) konvergiert, falls an ––> 0 gilt. Durch geeignete Modifikation des bekannten Landauschen Beweises des Rieszschen Satzes [vgl. E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin 1929, S. 73] ergeben sich verschiedene Resultate der genannten Art. Der einfachste Satz lautet: Ist die Koeffizientenfolge an beschränkt und gilt an = 0 für mi \leq n \leq ni, wo ni-mi ––> oo streben soll, so gilt smi(z) ––> f(z) gleichmäßig längs C; genauer konvergiert smi(z) so stark gegen f(z), daß mit jeder Konstanten k < 1 die Abschätzung |f(z)-smi(z)| < (ni-mi)-(ni-mi)k für alle hinreichend großen i besteht. Ähnliche Sätze gelten unter den Voraussetzungen |an| < n2 (t konstant) und allgemeiner |an| < e\phi(n), wo \phi(n) eine gewissen Einschränkungen unterworfene monoton wachsende Funktion bedeutet.
Jedem der damit gewonnenen "Überkonvergenzsätze" läßt sich ein Satz über Nichtfortsetzbarkeit von Potenzreihen entnehmen. So folgt aus dem oben wiedergegebenen Satz fast unmittelbar: Die Reihe f(z) = sumn = 0oo an zn vom Konvergenzradius 1 besitze Doppellückenin dem Sinne, daß für drei Indexfolgen mi, ni, ni' (i = 1,2,..) mit limi ––> oo (ni-mi) = limi ––> oo (n'i-ni) = +oo und eine ganze Zahl k > 0 alle an = 0 sind, deren Indizes n den Intervallen mi < n \leq ni oder ni+k < n \leq n'i (i = 1,2,...) angehören. Ist dann die Koeffizientenfolge an beschränkt, während anderseits die zwischen den Lückenpaaren stehenden Koeffizienten an_{i+j} (i = 1,2,...; j = 1,2,...,k) keine Nullfolge bilden, so ist f(z) nicht über den Einheitskreis hinaus fortsetzbar.
{Anm. d. Ref.: Die sich so ergebenden Nichtfortsetzbarkeitssätze stehen in enger Beziehung zu den Resultaten des Ref. [Math. Z. 32, 415-421 (1930)] und H. Claus [Math. Z. 49, 161-191 (1943)].}
Reviewer: F.Lösch (Stuttgart)
Classif.: * 30B30 Boundary behavior of power series (one complex variable)
Index Words: Complex functions
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