Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös

Zbl.No:  044.06003
Autor:  de Bruijn, N.G.; Erdös, Pál
Title:  Some linear and some quadratic recursion formulas. I. (In English)
Source:  Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser. A 54, 374-382 (1951); Indag. Math. 13, 374-382 (1951).
Review:  Die Verff. untersuchen die Lösungen f von

f(1) = 1;   f(n) = sumk = 1n-1 ck f(n-k)   (n = 2,3,...),

wo die ck > 0 vorausgesetzt werden, so daß auch f(n) > 0 (n = 1,2,...). Es werde C(x) = sumn = 1oo cnxn und F(x) = sumn = 1oo f(n) xn gesetzt. Es ist dann F(x) = x+C(x)F(x). Es sei \gamma die obere Grenze aller Zahlen \alpha \geq = mit C(\alpha) \leq 1 und R der Konvergenzradius der Potenzreihe für C(x). Fünf Fälle werden unterschieden:
1. \gamma = R = 0; 2. 0 < \gamma < R \leq oo, C(\gamma) = 1; 3. 0 < \gamma = R < oo, C(\gamma) = 1, 0 < C'(\gamma) < oo; 4. 0 < \gamma = R < oo, C(\gamma) = 1; C'(\gamma) = oo; 5. 0 < \gamma = R < oo, 0 < C(\gamma) < 1.
Die Verff. zeigen zunächst, daß lim {f(n) }-1/n immer existiert (sogar in einem allgemeineren Fall, wo die ck noch von n abhängen) und = \gamma ist. Komplizierter istdie Frage nach der Existenz von lim f(n)/f(n+1), der dann ebenfalls = \gamma ist, was in den Fällen 2. und 3. immer zutrifft, nicht immer aber in den übrigen Fällen. Es sei \alpha = liminf f(n)/f(n+1) und \beta = limsup f(n)/f(n+1). Die Verff. geben ein Beispiel, wo \beta > \alpha = 0 ist. Eine hinreichende Bedingung für \alpha > 0 ist sum ck/f(k) < oo. Im 5. Fall ist aber sum ck/f(k) = oo. Die Verff. zeigen noch, daß in den Fällen 2, 3, und 4 immer cn = o{f(n)} ist, falls entweder lim f(n)/f(n+1) oder lim cn+1/cn existiert. Für die Fälle 2, 3, 4 und 5 geben sie zwei zugleich notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von lim f(n)/f(n+1). In diesen 4 Fällen sind folgende Bedingungen (jede für sich) hinreichend:
a) lim cn/cn+1 = \gamma;
b) sumn = 1oo |\gamma cn-cn-1|{f(n)}-1 < oo;
c) sum cn /f(n) < oo;
d) cn+1cn-1 \geq c 2/n (n > 1),
a) und d) auch im Fall 1.
Reviewer:  Hendrik Douwe Kloosterman
Classif.:  * 40A05 Convergence of series and sequences
Index Words:  series, summability


© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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