Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 308.05004
Autor: Deza, M.; Erdös, Paul
Title: Extension de quelques théorèmes sur les densités de séries d'éléments de N a des séries de sous-ensembles finis de N. (Extension of some theorems on the density of series of elements of N to series of finite subsets of N.) (In French)
Source: Discrete Math. 12, 295-308 (1975).
Review: Pour une série A = {Ak } de sous-ensembles finis de N, on introduit les densités \sigma (A) = infm \leq n A(m)/2m, dinf(A) = liminfn ––> oo A(n)/2n, où A(m) est le nombre d'ensembles Ak \subseteq {1,2, ... ,m }. L'ensemble de toutes les parties de {1,2, ... ,n } devient, pour les opérations a \cup b, a \cap b, a*b = a \cup b-a \cap b, un semi-groupe fini N\cup, N\cap ou un groupe N^* respectivement. Pour N\cup, N\cap, on démontre l'analogue du théorème de Erdös-Landau
\sigma (A+B) \geq \sigma (A)(1+(2 \lambda)-1(1- \sigma (A)), où B est une base de N d'ordre moyen \lambda. On démontre pour N\cup, N\cap, N^* l'analogue du théorème de Schnirelmann (si \sigma (A)+\sigma (B) > 1, alors \sigma (A+B) = 1) et les inégalités \lambda \leq 2h, où h est l'ordre de base. On introduit le rapport de divisibilité des ensembles a | b, si b est une continuation de a. On démontre l'analogue du théorème de Davenport-Erdös: si dinf(A) > 0, alors il existe une sous-série infinie {Akr }, où Akr | Ak_{r+1}, pour r = 1,2, ... On envisage aussi pour N\cup, N\cap, N^* les analogues de l'inégalité de Rohrbach: \sqrt{2n} \leq g(n) \leq 2 \sqrt n, où g(n) = max k pour les ensembles {a1 < ... < ak } \subseteq {0,1,2, ... ,n } tels que, pour tout m in {0,1,2, ... ,n }, on a m = ai+aj.
Classif.: * 05A05 Combinatorial choice problems
20M99 Semigroups
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