Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 368.10033
Autor: Erdös, Paul; Hall, R.R.
Title: Proof of a conjecture about the distribution of divisors of integers in residue classes. (In English)
Source: Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 79, 281-287 (1976).
Review: Für k in N sei f(x,k) die Anzahl der positiven ganzen Zahlen n < x die in jeder Restklasse, die relativ prim zu k ist, einen Teiler haben. P.Erdös [Bull. Soc. Math. Gréce 6, 27-36 (1965; Zbl 133.29905)] hat gezeigt, daß für \epsilon > 0 and k < 2(1-\epsilon) log log x gilt F(x,k) ~ x, x ––> oo. Jetzt wird die folgende Verallgemeinerung bewiesen: Sei c in R und k = 2 log log x+(c+c(1))\sqrt{log log x}. Dann ist für F(x,k) ~ \frac x{\sqrt{2\pi}}intcooe-\frac12 y2dy. Der Beweis benutzt das folgende Lemma: Sei G eine Abelsche Gruppe gerader Ordnung N und H eine Untergruppe vom Index 2. Sei weiter \delta > 0, r < t, und
t log 2 \geq log N+ log\frac1{\delta}+ log\frac{log N}{log 2}+5. Dann ist die Anzahl der t-Tupel g1,g2,...,gt (g1 in G), von denen genau r aus H gewählt sind und so daß die Menge der \epsilon1g1+\epsilon2g2+...+\epsilontgt(\epsiloni = 0 oder 1) nicht ganz G ist, höchstens \delta\binom{t}{r} ( N/2 )t. Der Beweis des Satzes ist ähnlich zum Beweis des oben zitierten Satzes von Erdös und benützt weiterhin noch die Tatsache, daß es für die Dirichletschen L-Funktionen (mod k) höchstens eine Siegelsche Nullstelle gibt.
Reviewer: J.H.van Lint
Classif.: * 11N13 Primes in progressions
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