Берестовский В. Н.
Зональные сферические функции на КРОСПах и специальные функции

Простым методом найдены единые формулы для собственных значений лапласиана и зональных сферических функций на всех односвязных КРОСПах. Используются тригонометрические формулы сферической геометрии, расслоения Хопфа и результаты о спектрах лапласиана на тотальном пространстве и базе римановой субмерсии с вполне геодезическими слоями. Найдены прямые связи полученных зональных сферических функций со специальными функциями: гипергеометрическими конечными рядами Гаусса, полиномами Якоби и ортогональными многочленами, в том числе с ультрасферическими многочленами Гегенбауэра, частными случаями которых являются многочлены Лежандра и многочлены Чебышёва первого и второго родов. Указаны связи с соответствующими результатами Хелгасона и Берже с соавторами. Приведены краткие сведения о методе вычисления спектров лапласиана на компактных односвязных неприводимых симметрических римановых пространствах и полученные на их основе спектры лапласиана на КРОСПах.

Berestovskii V. N.
Zonal spherical functions on CROSS’s and special functions

We find formulas for the eigenvalues of the Laplacian and the zonal spherical functions on all simply-connected CROSS’s by a simple method, using the trigonometric formulas of spherical geometry, Hopf fiber bundles, and the results on the spectra of the Laplacian on the total space and on the base of a Riemannian submersion with totally geodesic fibers. We find direct relations of the so-obtained zonal spherical functions to the special functions: hypergeometric finite Gauss series, Jacobi polynomials, and orthogonal polynomials including the ultraspherical Gegenbauer polynomials whose particular cases are given by the Legendre polynomials and the Chebyshev polynomials of the first and second kinds. We point out the relations to the corresponding results by Helgason and Berger with coauthors and give brief information about the method of calculating the spectra of the Laplacian on compact simply-connected irreducible Riemannian spaces and the spectra of the Laplacian on the CROSS’s obtained therefrom.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file