Бородин О. В., Иванова А. О.
Высота граней 3-многогранников

Высота грани в 3-многограннике есть максимальная степень инцидентных ей вершин, а высота $h$ 3-многогранника есть минимум высот его граней. Грань называется пирамидальной, если она является либо 4-гранью, инцидентной трем $3$-вершинам, либо 3-гранью, инцидентной двум вершинам степени не больше 4. При наличии пирамидальных граней $h$ может быть сколь угодно большой, поэтому далее предполагается, что пирамидальных граней нет.
В 1940 г. Лебег доказал, что $h \le 11$ в каждом четыреангулированном 3-многограннике. В 1995 г. эта оценка была улучшена С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным до 10. Недавно эта оценка улучшена нами до точной оценки 8.
Для плоских триангуляций без 4-вершин О. В. Бородин (1992 г.), подтвердив гипотезу Коцига (1979 г.), доказал, что $h \le 20$, причем оценка неулучшаема; далее для всех триангулированных 3-многогранников он (1998 г.) доказал, что $h \le 20$.
Для многогранников без треугольников нами недавно получена точная оценка 10.
Для произвольных многогранников Хорняк и Йендроль (1996 г.) доказали, что $h \le 23$. В настоящей статье эта оценка улучшена до точной оценки 20.

O. V. Borodin, A. O. Ivanova
The height of faces of 3-polytopes

The height of a face in a 3-polytope is the maximum degree of the incident vertices of the face, and the height of a 3-polytope, $h$, is the minimum height of its faces. A face is pyramidal if it is either a 4-face incident with three 3-vertices, or a 3-face incident with two vertices of degree at most 4. If pyramidal faces are allowed, then $h$ can be arbitrarily large; so we assume the absence of pyramidal faces. In 1940, Lebesgue proved that every quadrangulated 3-polytope has $h \le 11$. In 1995, this bound was lowered by Avgustinovich and Borodin to 10. Recently, we improved it to the sharp bound 8. For plane triangulation without 4-vertices, Borodin (1992), confirming the Kotzig conjecture of 1979, proved that $h \le 20$ which bound is sharp. Later, Borodin (1998) proved that $h \le 20$ for all triangulated 3-polytopes. Recently, we obtained the sharp bound 10 for triangle-free 3-polytopes. In 1996, Hornák and Jendrol’ proved for arbitrarily 3-polytopes that $h \le 23$. In this paper we improve this bound to the sharp bound 20.

DOI 10.17377/smzh.2017.58.105
Ключевые слова: плоская карта, планарный граф, 3-многогранник, структурные свойства, высота грани.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file