Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 032.27802
Autor: Erdös, Pál; Feller, W.; Pollard, H.
Title: A property of power series with positive coefficients. (In English)
Source: Bull. Am. Math. Soc. 55, 201-204 (1949).
Review: Es sei pk \geq 0 (k = 0,1,...), sumk = 0oo pk = 1 und sumk = 1oo kpk = m \leq oo, ferner sei P(x) = sumk = 0oo pk xk für keine ganze Zahl t > 1 eine Potenzreihe in xt; dann besitzt die Funktion 1-P(x) keine Nullstelle im Inneren des Einheitskreises, und die Reihe (1-P(x))-1 = sumk = 0oo uk xk hat die Eigenschaft limn ––> oo un = 1/m (mit 1/m = 0 für m = oo). Dieser Satz wird (elementar) bewiesen. Für den Fall m < oo wird ein zweiter Beweis gegeben. Wegen Ausdehnung des Satzes auf den kontinuierlichen Fall wird auf D.Blackwell (Zbl 030.20102) verwiesen. \smallskip
Let pk \geq 0 (k = 0,1,...), sumk = 0oo pk = 1 and sumk = 1oo kpk = m \leq oo, further let P(x) = sumk = 0oo pk xk for no entire number t > 1 a power series in xt; then the function 1-P(x) has no zero inside the unit circle, and the series
(1-P(x))-1 = sumk = 0oo uk xk has the property limn ––> oo un = 1/m (with 1/m = 0 for m = oo). This theorem is proved (elementary). In case of m < oo is given a second proof. Concerning the extension of this theorem to the continuous case see D. Blackwell (Zbl 030.20102).
Reviewer: Meyer-König
Classif.: * 30B10 Power series (one complex variable)
Index Words: Complex functions
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